Luận văn Thạc sĩ Toán học: Số Bernoulli và đa thức Bernoulli

Đồng thời với Bernoulli, đã có nhiều nhà toán học khác trên thế giới nghiên cứu và cùng đưa ra được kết quả tương tự như Bernoulli, ví dụ nhà toán học người Nhật Bản Seki Takakazu, đưa ra công thức và định nghĩa về số Bernoulli là hoàn toàn giống với của Bernoulli. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Số Bernoulli và đa thức Bernoulli ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN NGỌC THIÊMSỐ BERNOULLI VÀ ĐA THỨC BERNOULLI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN NGỌC THIÊMSỐ BERNOULLI VÀ ĐA THỨC BERNOULLI Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. NÔNG QUỐC CHINH Thái Nguyên - 2017 iMục lụcLời cảm ơn 1Một số quy ước và kí hiệu 2Mở đầu 21 Số Bernoulli 4 1.1 Khái niệm về số Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Khai triển của số Bernoulli và tính chất . . . . . . . . . 4 1.3 Phương pháp tính số Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.1 Tính số Bernoulli bằng định nghĩa . . . . . . . . 12 1.3.2 Tính số Bernoulli bằng phương pháp truy hồi . . 13 1.3.3 Tính số Bernoulli thông qua tổng kép . . . . . . . 132 Đa thức Bernoulli 15 2.1 Khái niệm về đa thức Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Tính chất của đa thức Bernoulli và đa thức Bernoulli tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.1 Tính chất của đa thức Bernoulli . . . . . . . . . . 16 2.2.2 Tính chất của đa thức Bernoulli tổng quát . . . . 203 Một số bài toán sơ cấp ứng dụng dãy số Bernoulli và đa thức Bernoulli 27 3.1 Ứng dụng trong tính tổng các phần tử của dãy số . . . . 27 3.1.1 Tổng các lũy thừa bậc k các số tự nhiên . . . . . 27 3.1.2 Tổng đan dấu lũy thừa các số tự nhiên . . . . . . 30 3.2 Ứng dụng trong tính tổng Euler-Maclaurin . . . . . . . . 32 3.3 Ứng dụng trong tổng của chuỗi điều hòa và hằng số Euler-Mascheroni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.3.1 Tổng của chuỗi điều hòa . . . . . . . . . . . . . . 35 3.3.2 Tính hằng số Euler-Mascheroni . . . . . . . . . . 37 3.4 Ứng dụng trong tổng của chuỗi Zeta và hàm Zeta . . . . 38 i 3.4.1 Tổng của hàm Zeta . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.4.2 Tính giá trị hàm Riemann Zeta . . . . . . . . . . 41Kết luận 44Tài liệu tham khảo 45 1Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy tôi PGS.TS. Nông QuốcChinh, người đã trực tiếp hướng dẫn luận văn, đã tận tình chỉ bảo vàhướng dẫn tôi tìm ra hướng nghiên cứu, tìm kiếm tài liệu, giải quyếtvấn đề... nhờ đó tôi mới có thể hoàn thành luận văn cao học của mình.Từ tận đáy lòng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắcnhất tới Thầy của tôi và tôi sẽ cố gắng hơn nữa để xứng đáng với cônglao của Thầy. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo trườngĐại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡtôi trong suốt thời gian học tập tại trường. Tôi xin cảm ơn quý thầycô Khoa Toán - Tin và đặc biệt là PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy,trưởng Khoa Toán - Tin, đã luôn quan tâm, động viên, trao đổi vàđóng góp những ý kiến quý báu trong suốt quá trình học tập, nghiêncứu và hoàn thành luân văn. Cuối cùng, tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới bạn bè và nhữngngười thân trong gia đình, đặc biệt là bố mẹ. Những người luôn độngviên, chia sẽ mọi khó khăn cùng tôi trong suốt thời gian qua và đặcbiệt là trong thòi gian tôi theo học khóa thạc sỹ tại trường Đại họcKhoa học - Đại học Thái Nguyên. Thái Nguyên, ngày ... tháng ... năm 2017 Tác giả luận văn Nguyễn Ngọc Thiêm 2 MỘT SỐ QUY ƯỚC VÀ KÍ HIỆUTrong toàn bộ luận văn, ta thống nhất một số kí hiệu như sau:• N là tập các số tự nhiên.• R là tập các số thực.• n! = 1.2.3...n.• n!! = n(n − 2)(n − 4)... n!• Cnk = k!(n−k)! là tổ hợp chập k của n phần tử.• bxc là phần nguyên của số thực x. dl f ∂lf• dxl = dxl = f (l) (x) là đạo hàm cấp l của hàm f (x). 2Mở đầu Một trong những bài toán rất lý thú trong toán sơ cấp là tính cáctổng sau: 1k + 2k + ... + nk =? 1 1 1 + + ... + =? 1k 2k nk 1k − 2k + 3k − 4k + ... =?.Việc giải quyết các bài toán này cần sử dụng đến số Bernoulli. Vì vậy,tôi đã quyết định chọn đề tài: Số Bernoulli và đa thức Bernoulli. Jakob Bernoulli (còn được biết với tên là James hoặc Jacques) (27tháng 12 năm 1954 – 16 tháng 8 năm 1705) là nhà Toán học người ThụySĩ. Cống hiến chủ yếu của ông là trong lĩnh vực hình học giải tích, lýthuyết xác suất, phép tính biến phân. Trong cuốn sách Ars Conjectandi(1713), ông nghiên cứu tổng lũy thừa cấp r của n số nguyên dương [1]: Sr (n) = 1r + 2r + 3r + ... + nr . Ông đã nghiên cứu các số đặc biệt có liên quan đến tổng này và đưara các công thức liên quan đến tổng các lũy thừa. Các số đặc biệt đóđược gọi là số Bernoulli. Đồng thời với Bernoulli, đã có nhiều nhà toán học khác trên thế giớinghiên cứu và cùng đưa ra được kết quả tương tự như Bernoulli, ví dụnhà toán học n ...