Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính chất nghiệm của phương trình trung tính với quá khứ không Ôtônôm

Đề tài có cấu trúc gồm 3 chương trình bày các kiến thức chuẩn bị về nửa nhóm toán tử, các định nghĩa và tính chất của nửa nhóm; sự tồn tại nửa nhóm trung tính, cùng với điều kiện ổn định mũ đều của họ tiến hóa lùi ta xây dựng nửa nhóm liên tục mạnh trên E = C0(R−, X) thỏa mãn điều kiện Hille-Yosida; nghiên cứu tính nhị phân mũ của nửa nhóm trung tính với quá khứ không ôtônôm, khi nửa nhóm (e tB)t≥0 có nhị phân mũ.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính chất nghiệm của phương trình trung tính với quá khứ không Ôtônôm ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN VIỆT HƯNGTÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNGTRÌNH TRUNG TÍNH VỚI QUÁ KHỨ KHÔNG ÔTÔNÔM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN VIỆT HƯNGTÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNGTRÌNH TRUNG TÍNH VỚI QUÁ KHỨ KHÔNG ÔTÔNÔM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN PGS. TSKH. NGUYỄN THIỆU HUY THÁI NGUYÊN - 2017 iiiMục lụcBảng ký hiệu ivLời mở đầu 11 Lý thuyết nửa nhóm toán tử 4 1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh và các tính chất cận tăng . . . 4 1.2 Ổn định mũ và nhị phân mũ của nửa nhóm . . . . . . . 132 Sự tồn tại và ổn định của nghiệm phương trình trung tính với quá khứ không ôtônôm 16 2.1 Phương trình trung tính với quá khứ không ôtônôm . . . 16 2.2 Các nửa nhóm tiến hóa với toán tử sai phân và toán tử trễ 183 Nhị phân mũ 24 3.1 Phổ và tính nhị phân mũ của nửa nhóm nghiệm . . . . . 24 3.2 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Kết luận 33Tài liệu tham khảo 34 ivBảng ký hiệuN : tập các số tự nhiên.R : tập các số thực.R+ : tập các số thực không âm.L1,loc (R) := {u : R → R|u ∈ L1 (ω) với mọi tập con đo được ω ⊂⊂ R}, với ω ⊂⊂ R nghĩa là bao đóng ω là tập compact trong R.X : không gian Banach.C := C([−r, 0], X) không gian các hàm liên tục trên [−r, 0], r>0, nhận giá trị trong X với chuẩn kukC = sup ku(t)k. t∈[−r,0]C0 (R− , X) := {f : R− → X : f liên tục và lim f (t) = 0} không gian t→−∞ hàm với chuẩn sup. 1Lời mở đầuVào đầu thế kỉ 20 phương trình trung tính được xem như một trườnghợp đặc biệt của phương trình vi phân sai phân. Ví dụ : u00 (t) − u0 (t − 1) + u(t) = 0, √ u0 (t) − u(t − 1) − u(t − 2) = 0, u0 (t) − 2u(t) + u0 (t − 1) − 2u(t − 1) = 0,(xem [3, 4, 5, 23, 36]), hoặc dưới dạng tổng quát của phương trình viphân cấp n và sai phân cấp m : F t, u(t), u(t − r1 ), ..., u(t − rm ), u0 (t), u0 (t − r1 ), ..., u0 (t − rm ), ... ..., u(n) (t), u(n) (t − r1 ), ..., u(n) (t − rm ) = 0 với F là hàm của (m + 1)(n + 1) biến. Để hiểu được nguồn gốc thuật ngữ trễ, trung tính ta xét phươngtrình vi phân cấp 1 và sai phân cấp 1a0 u0 (t) + a1 u0 (t − ω) + b0 u(t) + b1 u(t − ω) = f (t) với ω > 0 cố định . (1)Nếu a0 = a1 = 0, thì phương trình này gọi là phương trình sai phân. Nókhông chứa bất kỳ vi phân nào. Nếu a0 6= 0, a1 = 0, thì phương trình trên gọi là phương trình vi phânsai phân lùi hay đơn giản là phương trình vi phân có trễ, vì nó mô tảsự phụ thuộc vào hệ trang thái của nó trong quá khứ. Nếu a0 = 0, a1 6= 0, thì phương trình trên gọi là phương trình vi phânsai phân tiến hay phương trình vi phân tiến, vì nó mô tả sự phụthuộc vào hệ trạng thái của nó trong tương lai. 2 Cuối cùng nếu a0 6= 0, a1 6= 0, thì loại phương trình vi phân sai phânnày gọi là hỗn tạp, vừa lùi vừa tiến. Vì vậy trong trường hợp nàyphương trình trên gọi là phương trình vi phân trung tính. Ta tham khảoBellman and Cooke [3, Chương. 2] cho cả lịch sử của bài toán. Gần đây Wu and Xia [41] đã chỉ ra rằng hệ tương ứng của phươngtrình có nhị phân mũ là tương đương với hệ phương trình trung tính ∂ ∂2 F ut = a 2 F ut + Φut (2) ∂t ∂xđược gọi là phương trình đạo hàm riêng trung tính hay phương trìnhtrung tính. Ở đây hàm u thuộc C([−r, 0], X) với r ≥ 0 và không gianBanach X của hàm trên đường tròn đơn vị S 1 , tức là : X = H 1 (S 1 )hoặc X = C(S 1 ), hàm lịch sử ut được xác định bởi ut (θ) := u(t + θ)với θ ∈ [−r, 0] và t ≥ 0. Cuối cùng F và Φ được gọi là toán tử sai phânvà toán tử trễ là tuyến tính và bị chặn từ C([−r, 0], X) → X. Có mộtphương pháp để giải quyết bài toán trên do Hale [21, 22], ông đã chỉ rasự tồn tại và duy nhất và các tính chất của toán tử nghiệm. Trong luận văn này chúng tôi đã đưa ra một phương pháp tiếp cậnnửa nhóm tuyến tính của phương trình (NPDE). Sau đó chúng tôi đãchỉ ra phương trình (NPDE) là đặt chỉnh và nghiệm của nó là ổn địnhmũ bằng phương pháp nửa nhóm. Để thực hiện điều đó chúng ta xâydựng phương trình (NPDE) mà ta sẽ nghiên cứu trong luận văn. ∂ F (u(t, ·)) = BF u(t, ·) + Φu(t, ·), t ≥ 0, (3) ∂t ∂ ∂ u(t, s) = u(t, s) + a(s)Au(t, s), t ≥ 0 ≥ s, (4) ∂t ∂strong đó hàm u(·, ·) lấy giá trị trong không gian Banach X, A là toántử tuyến tính (không bị chặn) trên X sinh ra nửa nhóm (T (t))t≥0 , hàma(·) ∈ L1,loc (R+ ) thỏa mãn điều kiện γ1 ≥ a(t) ≥ γ0 > 0 hầu khắpt ≥ 0. Đặt A(s) := −a(s)A. Dựa trên c ...