Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính chất số học của dãy các số nguyên

Trong các kì thi học sinh giỏi toán các cấp, các bài toán liên quan tới các tính chất số học của dãy các số nguyên thường xuyên được đề cập. Những dạng toán này thường được xem là thuộc loại khó vì phần kiến thức về chuyên đề này không nằm trong chương trình chính thức của giáo trình số học bậc trung học phổ thông. Chuyên đề nằm trong chương trình bồi dưỡng HSG ở các lớp THCS phục vụ các kỳ thi HSG quốc gia và khu vực. Để đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng giáo viên và bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề về dãy các số nguyên, tác giả chọn đề tài luận văn ”Tính chất số học của dãy các số nguyên”.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính chất số học của dãy các số nguyên ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- BÙI THU NGA TÍNH CHẤT SỐ HỌCCỦA DÃY CÁC SỐ NGUYÊNLUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- BÙI THU NGA TÍNH CHẤT SỐ HỌCCỦA DÃY CÁC SỐ NGUYÊNChuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu THÁI NGUYÊN - 2019 LỜI CẢM ƠN Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học TháiNguyên. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với GS.TSKH Nguyễn VănMậu (Trường ĐH Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN), thầy đã trực tiếp hướng dẫntận tình và động viên tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu vừa qua. Xin chân thành cảm ơn tới các quý thầy, cô giáo đã trực tiếp giảng dạy lớp caohọc Toán K11, các bạn học viên, và các bạn đồng nghiệp đã tạo điều kiện thuậnlợi, động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường.Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thân luôn khuyếnkhích động viên tác giả trong suốt quá trình học cao học và viết luận văn này. Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót vàhạn chế. Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô và cácbạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 10 năm 2019 Tác giả Bùi Thu Nga iiMục lục MỞ ĐẦU 1Chương 1. MỘT SỐ TÍNH CHẤT SỐ HỌC CỦA DÃY SỐ NGUYÊN 2 1.1 Lớp các hàm số học cổ điển và các dãy số liên quan . . . . . . . . . 2 1.1.1 Phi hàm Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Hàm tổng các ước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3 Hàm số M¨obius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.4 Hàm đếm các ước số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.5 Một số đẳng thức giữa các hàm số học . . . . . . . . . . . . 14 1.2 Một số dạng toán số học về dãy số nguyên . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.1 Các dạng toán về số chính phương trong dãy số . . . . . . . 18 1.2.2 Các dạng toán về tính chia hết và đồng dư trong dãy số . . 32 1.3 Một số dạng toán về dãy số nguyên qua các kỳ Olympic . . . . . . 34 1.3.1 Một số dạng toán về số chính phương trong dãy số . . . . . 34 1.3.2 Đồng dư và chia hết trong dãy số . . . . . . . . . . . . . . . 46Chương 2. CÁC DÃY SỐ LIÊN QUAN ĐẾN ĐA THỨC NGUYÊN VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC 59 2.1 Sử dụng đa thức nguyên giải bài toán đồng dư trong dãy số . . . . 59 2.2 Thiết lập phương trình để khảo sát tính chất số học của dãy số . . 73 KẾT LUẬN 80 TÀI LIỆU THAM KHẢO 81 iiiMở đầu Trong các kì thi học sinh giỏi toán các cấp, các bài toán liên quan tới các tínhchất số học của dãy các số nguyên thường xuyên được đề cập. Những dạng toánnày thường được xem là thuộc loại khó vì phần kiến thức về chuyên đề này khôngnằm trong chương trình chính thức của giáo trình số học bậc trung học phổ thông. Chuyên đề nằm trong chương trình bồi dưỡng HSG ở các lớp THCS phục vụcác kỳ thi HSG quốc gia và khu vực. Để đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng giáo viên và bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyênđề về dãy các số nguyên, tôi chọn đề tài luận văn ”Tính chất số học của dãy cácsố nguyên”. Tiếp theo, khảo sát một số lớp bài toán từ các đề thi HSG Quốc gia và các tỉnhthành trong cả nước những năm gần đây. Cấu trúc luận văn gồm 2 chương: Chương 1. Một số tính chất số học của dãy số nguyên. Chương 2. Các dãy số liên quan đến đa thức nguyên và phương trình đa thức. Tiếp theo, cuối các chương đều trình bày các bài tập áp dụng và giải các đề thiHSG quốc gia và Olympic liên quan. 1Chương 1. MỘT SỐ TÍNH CHẤT SỐHỌC CỦA DÃY SỐ NGUYÊN Trong lý thuyết số, các hàm số học có vai trò hết sức quan trọng. Trong chươngnày, ta xét một số hàm số học cổ điển (Phi hàm Euler, hàm M˝obuis, hàm đếm cácước và hàm tổng) và xét các tính chất số học của dãy sinh bởi chúng. Ta chủ yếu khảo sát lớp hàm số học nhận giá trị nguyên. Những trường hợpđặc biệt sẽ được xét riêng và có chú ...