Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính Cohen-Macaulay dãy của đại số Rees

Việc nghiền cứu lớp môđun Cohen-Mlacaulay dãy đóng vai trò rất quan trọng trong Đại số giao hoán, Hình học đại số. Đại số tổ hợp, đặc biệt trong việc nghiên cứu vành Stanley-Reiner. Cấu trúc của môđun Cohen- Macaulay dãy được nghiên cứu khá rõ thông qua đầy đủ m-adic, địa phương hoá, đặc trưng đồng điều và hệ tham số tốt, hệ tham số d-dãy.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính Cohen-Macaulay dãy của đại số Rees „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M o0o NGUY™N CH T…MTNH COHEN-MACAULAY D‚Y CÕA „I SÈ REES LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC THI NGUY–N, N‹M 2018 „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M o0o NGUY™N CH T…MTNH COHEN-MACAULAY D‚Y CÕA „I SÈ REES Ngnh: ¤i sè v lþ thuy¸t sè M¢ sè: 8 46 01 04 LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC C¡n bë h÷îng d¨n khoa håc: 1. PGS.TS. Naoki Taniguchi 2. TS. Tr¦n Nguy¶n An THI NGUY–N, N‹M 2018 i LÍI CAM OAN Tæi xin cam oan r¬ng c¡c k¸t qu£ nghi¶n cùu trong luªn v«n ny ltrung thüc v khæng tròng l°p vîi c¡c · ti kh¡c. Tæi xin cam oan måi sügióp ï cho vi»c thüc hi»n luªn v«n ny ¢ ÷ñc c£m ìn v c¡c thæng tin tr½chd¨n trong luªn v«n ¢ ÷ñc ch¿ rã nguçn gèc. Th¡i Nguy¶n, ngy 16 th¡ng 08 n«m 2018 T¡c gi£ Nguy¹n Ch½ T¥m X¡c nhªn X¡c nhªn cõa tr÷ðng khoa chuy¶n mæn cõa tªp thº h÷îng d¨n khoa håc ii LÍI CƒM ÌN Luªn v«n ÷ñc hon thnh d÷îi sü h÷îng d¨n cõa PGS.TS. NaokiTaniguchi, tr÷íng ¤i håc Waseda, Tokyo, Nhªt B£n v TS. Tr¦n Nguy¶nAn, tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m Th¡i Nguy¶n. Tæi xin ÷ñc by tä láng k½nhtrång v bi¸t ìn s¥u sc ¸n hai th¦y, nhúng bi håc quþ gi¡ tø trang gi§y vc£ nhúng bi håc trong cuëc sèng th¦y d¤y gióp tæi tü tin hìn v tr÷ðng thnhhìn. Tæi xin by tä láng bi¸t ìn tîi t§t c£ c¡c th¦y cæ ð ¤i håc Th¡i Nguy¶n,c¡c th¦y ð Vi»n To¡n v c¡c th¦y cæ ¸n tø Nhªt B£n ¢ t¤o i·u ki»n cho tæitham gia c¡c buêi xemina v c¡c lîp håc ngoi ch÷ìng tr¼nh º tæi câ th¶mnhi·u ki¸n thùc quþ b¡u. Tæi xin ÷ñc gûi c£m ìn tîi t§t c£ thnh vi¶n trong gia ¼nh ¢ t¤o i·uki»n cho tæi ÷ñc håc tªp, nghi¶n cùu v hon thnh luªn v«n. iiiMöc löcLíi cam oan iiLÍI CƒM ÌN iiiMÐ †U 1Ch÷ìng 1 Vnh låc v t½nh Noether cõa vnh låc 3 1.1 Vnh låc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 T½nh Noether cõa vnh låc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Ch÷ìng 2 T½nh Cohen-Macaulay d¢y cõa ¤i sè Rees 18 2.1 Låc chi·u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 Mæun Cohen-Macaulay v Mæun Cohen-Macaulay d¢y . . . . . 22 2.3 T½nh Cohen-Macaulay d¢y cõa ¤i sè Rees . . . . . . . . . . . . . 33K˜T LUŠN 41 Ti li»u tham kh£o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 iv MÐ †U Cho R l mët vnh giao ho¡n Noether v cho F = {Fn }n l mët hå c¡ci¶an trong R. Khi â ta nâi F l mët låc cõa R n¸u (i) F0 = R; Fn+1 ⊆ Fn vîi måi n ∈ Z; (ii) Fn Fm ⊆ Fn+m vîi måi m, n ∈ Z. V½ dö v· c¡c lo¤i låc m chóng ta th÷íng nghi¶n cùu â l låc I -adicFn = I n , n ∈ N vîi I l i¶an cõa R; låc Fn = p(n) , n ∈ N l låc lôy thøa h¼nhthùc cõa i¶an nguy¶n tè p trong R; låc Fn = I n , n ∈ N l låc c¡c bao ângnguy¶n cõa I n ; låc Fn = i≥n Ri trong â R = i≥0 Ri l mët vnh ph¥n P Pbªc. Vîi t l mët bi¸n tr¶n R v vîi méi låc F cõa R ta câ ba ¤i sè ph¥nbªc li¶n k¸t l X R(F) = Fn tn ⊆ R[t], n≥0 X R0 (F) = Fn tn = R(F)[t−1 ] ⊆ R[t, t−1 ] v n∈Z G(F) = R(F)/t−1 R(F)v ta gåi t÷ìng ùng l ¤i sè Rees, ¤i sè Rees mð rëng v vnh ph¥n bªc li¶nk¸t cõa låc F . Khi F l I -adic ta th÷íng k½ hi»u c¡c ¤i sè bði R(I), R0 (I) vG(I) t÷ìng ùng. K¸t qu£ ¦u ti¶n v· x²t t½nh Cohen-Macaulay cõa vnh Reesùng vîi låc m-adic l cõa S. Goto-Y. Shimoda [13] hå ¢ x²t trong tr÷íng hñpR l vnh Cohen-Macaulay àa ph÷ìng vîi i¶an tèi ¤i duy nh§t m. Ð â hå¢ kh¯ng ành n¸u dim R ≥ 1 th¼ vnh Rees R(m) vîi m i¶an tèi ¤i cõa R lvnh Cohen-Macaulay khi v ch¿ khi G(m) l Cohen-Macaulay v a(G(m)) < 0trong â a(G(m)) l a-b§t bi¸n cõa vnh ph¥n bªc (theo [14]). S. Ikeda [18] mðrëng k¸t qu£ tr¶n cho vnh àa ph÷ìng b§t ký câ chi·u dim R ≥ 1. Sau â N. V.Trung v S. Ikeda [28] t¼m hiºu cho tr÷íng hñp têng qu¡t hìn. Cö thº cho I li¶an cõa vnh Nother àa ph÷ìng R, M l i¶an tèi ¤i ph¥n bªc duy nh§t cõaR(I). Khi â n¸u dim R(I) = dim R + 1 th¼ R(I) l vnh Cohen-Macaulay 1khi v ch¿ khi [Hmi (G(I))]n = (0) vîi måi i, n ∈ Z, i 6= dim R, n 6= −1 va(G(I)) < 0. T½nh Cohen-Macaulay cõa c¡c ¤i sè ùng vîi c¡c låc kh¡c công÷ñc nhi·u nh to¡n håc quan t¥m nghi¶n cùu. Mët c¥u häi tü nhi¶n °t ra l t¼m hiºu t½nh Cohen-Macaulay d¢y cõac¡c ¤i sè tr¶n. Chó þ r¬ng t½nh Cohen-Macaulay d¢y l¦n ¦u ti¶n ÷ñc giîithi»u bði R. P. Stanley [25] cho c¡c mæun ph¥n bªc húu h¤n sinh. Sau âN. T. C÷íng, L. T. Nhn [8] v P. Schelzel [24] ¢ nghi¶n cùu lîp mæun nytr¶n vnh àa ph÷ìng. T½nh Cohen-Macaulay d¢y ÷ñc ành ngh¾a cho mæunhúu h¤n sinh tr¶n vnh Noether b§t ký bði S. Goto, Y. Horiuchi v H. Sak ...