Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính hữu hạn và tính ổn định tiệm cận của một số tập iđêan nguyên tố

Luận văn được chia làm hai chương: Chương 1 dành để trình bày những kiến thức chuẩn bị cần thiết bao gồm: iđêan nguyên tố liên kết, mô đun Ext, mô đun đối đồng điều địa phương, dãy chính quy và độ sâu của mô đun, vành và mô đun phân bậc. Chương 2 là chương chính của luận văn gồm ba mục tương ứng dành để chứng minh chi tiết cho các định lý: Định lý 1, Định lý 2, và Định lý 3. Mời các bạn tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính hữu hạn và tính ổn định tiệm cận của một số tập iđêan nguyên tố ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM MÃ ĐỨC NGHỊ TÍNH HỮU HẠN VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH TIỆM CẬNCỦA MỘT SỐ TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM MÃ ĐỨC NGHỊ TÍNH HỮU HẠN VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH TIỆM CẬNCỦA MỘT SỐ TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCNgười hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN HOÀNG THÁI NGUYÊN - 2015Lời cam đoan Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trungthực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằngmọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và cácthông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Thái Nguyên, ngày 09 tháng 10 năm 2015 Người viết Luận văn Mã Đức Nghị iLời cảm ơn Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩNGUYỄN VĂN HOÀNG - Giảng viên Trường Đại học Sư phạm - Đại họcThái Nguyên. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy,người đã hướng dẫn tôi cách đọc tài liệu, nghiên cứu khoa học đúng đắn,tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành nhiều thời gian, công sức hoànthành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của: ViệnToán học và Đại học Thái Nguyên những người đã tận tình giảng dạy vàkhích lệ, động viên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập. Tôi xin cảmơn ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, KhoaSau đại học, Sở GD&ĐT Hà Giang, Ban Giám hiệu trường THPT ThôngNguyên, huyện Hoàng Su Phì, Hà Giang đã tạo mọi điều kiện thuận lợi,giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập. Cuối cùng tôi xin cảm ơn bạn bè,người thân đã giúp đỡ, động viên, ủng hộ tôi để tôi có thể hoàn thành tốtkhóa học của mình. Thái Nguyên, ngày 09 tháng 10 năm 2015 Người viết Luận văn Mã Đức Nghị iiMục lụcLời cảm ơn iiMục lục 1Mở đầu 11 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Iđêan nguyên tố liên kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Môđun Ext . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Môđun đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Dãy chính quy và độ sâu của môđun . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5 Vành và môđun phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Tính hữu hạn và ổn định tiệm cận của tập iđêan nguyên tố liên kết của một số môđun 13 2.1 Tính hữu hạn của tập iđêan nguyên tố liên kết . . . . . . . . . . 13 2.2 Tính ổn định tiệm cận của tập iđêan nguyên tố liên kết . . . . . 22 2.3 Tính ổn định của tập iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương tại bậc d − 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Tài liệu tham khảo 33 1Mở đầu Cho (R, m) là vành giao hoán Noether địa phương, I là iđêan của R, và Nlà R−môđun hữu hạn sinh. Năm 1992, C. Huneke [15] đã đưa ra giả thuyết”Liệu rằng các môđun HIj (N ) chỉ có hữu hạn các iđêan nguyên tố liên kết vớimọi môđun hữu hạn sinh N và mọi iđêan I ?”. Một số câu trả lời khẳng địnhđược đưa ra bởi Huneke-R. Y. Sharp, và G. Lyubeznik cho các vành chính quyđịa phương đẳng đặc trưng. Sau đó, A. Singh [23] và M. Katzman [16] đã xâydựng được các ví dụ về môđun hữu hạn sinh có một số môđun đối đồng điềuđịa phương có vô hạn các iđêan nguyên tố liên kết. Bên cạnh đó, giả thuyếtnày vẫn đúng trong nhiều trường hợp, chẳng hạn: Trong trường hợp môđun Ncó chiều nhỏ hơn 4, T. Marley đã chỉ ra rằng AssR (HIj (N )) là tập hữu hạn vớimọi j . M.Brodmann-A.Faghani chứng minh rằng AssR (HIt (N )) là tập hữu hạnnếu HIj (N ) là hữu hạn sinh với mọi j < t. Tiếp đó, K. Khashyarmanesh - Sh.Salarian [17] chứng minh được rằng nếu Supp HIj (N ) là tập hữu hạn với mọij < t thì Ass HIt (N ) là tập hữu hạn. Năm 2005, L.T. Nhàn [22] đã định nghĩakhái niệm dãy chính quy suy rộng, và đặc trưng được số nguyên t nhỏ nhất đểSupp HIt (N ) là tập vô hạn, số t đó là độ dài của dãy chính quy suy rộng cực đạicủa N trong I và Ass(HIj (N ) là hữu hạn. Gần đây N.T. Cường - N.V. Hoàngđã thu được kết quả mới về tính hữu hạn cho tập các iđêan nguyên tố liên kếtcủa một số môđun đối đồng điều địa phương, cụ thể là các định lý sau:Định lý 1. (Cường - Hoàng [8, Theorem 1.1]) Cho (R, m) là vành địa phươngNoether, I là một iđêan của R và N là R-môđun hữu hạn sinh. Cho k ≥ −1 làmột số nguyên và r = depthk (I, N ). Nếu r < ∞ và x1 , . . . , xr là một N -dãy từchiều > k trong I , thì với mọi số nguyên j ≤ r, tập hợp AssR (HIj (N ))≥k là hữuhạn. Hơn nữa, với mọi l ≤ r ta có [ j [ AssR (HI (N ))≥k = AssR (N/(x1 , . . . , xj )N )≥k ∩ V (I). j≤l j≤l 2 Mục tiêu thứ nhất của luận văn là trình bày lại một cách chi tiết chứngminh Định lý 1 của Cường - Hoàng như đã nê ...