Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính ổn định và tính co của các phương pháp Runge - kutta

Luận văn trình bày các khái niệm cơ bản về phương pháp Runge-Kutta, cách xây dựng phương pháp Runge-Kutta ẩn. Đồng thời trình bày các khái niệm và định lý liên quan đến tính co khi xét bài toán tuyến tính. Mời các bạn tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính ổn định và tính co của các phương pháp Runge - kutta ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———————————— NGUYỄN THỊ HIÊN TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ TÍNH COCỦA CÁC PHƯƠNG PHÁP RUNGE-KUTTA Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. VŨ HOÀNG LINH Hà Nội-2014 Lời cảm ơn Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin cảm ơn Banchủ nhiệm khoa Toán - Cơ - Tin học cùng toàn thể các thầy giáo, cô giáotrong khoa Toán - Cơ - Tin học, phòng Sau đại học, trường Đại học Khoahọc Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, đã giảng dạy tận tình và tạođiều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành tốt luận văn. Đặc biệt, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới thầy giáo PGS.TSVũ Hoàng Linh, người đã trực tiếp hướng dẫn và tận tình chỉ bảo tôi trongsuốt quá trình tôi học tập và thực hiện luận văn. Nhân dịp này, tôi cũng xin cảm ơn gia đình đã luôn ủng hộ và động viêntrong suốt thời gian tôi học tập. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn tất cả các bạn, các anh, các chị trong lớp caohọc Toán khóa 2011 - 2013, đặc biệt là các anh chị chuyên ngành Toánứng dụng khóa 2010 - 2012 và khóa 2011 - 2013 đã tận tình giúp đỡ vàđộng viên tôi trong quá trình học tập. Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 16 tháng 01 năm 2014 Học viên Nguyễn Thị HiênMục lụcMở đầu 3Bảng ký hiệu 41 Các khái niệm cơ bản 5 1.1 Các phương pháp Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Xây dựng các phương pháp Runge-Kutta ẩn . . . . . . . . 11 1.3 Áp dụng các phương pháp Runge-Kutta giải bài toán cương 18 1.4 Các loại chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 Tính co cho bài toán tuyến tính 26 2.1 Chuẩn Euclid (Định lý von Neumann) . . . . . . . . . . . . 29 2.2 Hàm tăng trưởng sai số với bài toán tuyến tính . . . . . . . 30 2.3 Bài toán với nhiễu phi tuyến nhỏ . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4 Tính co trong k.k∞ và k.k1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.5 Hệ số ngưỡng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 Tính ổn định B và tính co 42 3.1 Điều kiện Lipschitz một phía . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2 Ổn định B và ổn định đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3 Một vài phương pháp Runge-Kutta ẩn ổn định đại số . . . . 46 3.4 Ổn định AN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.5 Các phương pháp Runge-Kutta khả quy . . . . . . . . . . . 51 3.6 Định lý về sự tương đương giữa ổn định B và ổn định đại số với các phương pháp S-bất khả quy . . . . . . . . . . . . 53 3.7 Hàm tăng trưởng sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.8 Tính toán ϕB (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2Mở đầu Trong khoa học và kĩ thuật ta thường gặp rất nhiều bài toán liên quan tớiviệc giải phương trình vi phân. Có rất nhiều trường hợp nghiệm giải tích của cácbài toán này là không thể tìm được. Chính vì vậy các nhà toán học đã tìm kiếmnhiều phương pháp số khác nhau để giải các bài toán trên. Trong các phươngpháp số, phương pháp Runge-Kutta có nhiều tính chất ưu việt và được sử dụngrộng rãi. Luận văn trình bày về tính ổn định và tính co của các phương phápRunge-Kutta. Xuất phát từ điều kiện ổn định tuyệt đối |yn | ≤ |yn−1 | của bàitoán y 0 = λy , ta mở rộng đến khái niệm tính co khi xét bài toán tuyến tínhy 0 = Ay , tiếp đến là các khái niệm tính ổn định B và ổn định đại số khi xét bàitoán phi tuyến. Trên cơ sở đó ta có thể lựa chọn ra phương pháp hữu hiệu vàphù hợp nhất để giải các bài toán nảy sinh trong thực tế. Nội dung luận vănđược tham khảo chính từ tài liệu [2] và [3]. Bố cục của luận văn bao gồm 3 chương: • Chương 1: Các khái niệm cơ bản Luận văn trình bày các khái niệm cơ bản về phương pháp Runge-Kutta, cách xây dựng phương pháp Runge-Kutta ẩn, cùng với các kiến thức bổ trợ cho Chương 2 và Chương 3. • Chương 2: Tính co của bài toán tuyến tính Luận văn trình bày các khái niệm và định lý liên quan đến tính co khi xét bài toán tuyến tính. • Chương 3: Tính ổn định B và tính co Luận văn trình bày khái niệm ổn định B, ổn định đại số, ổn định AN và mối quan hệ giữa các khái niệm ổn định của các phương pháp Runge-Kutta khi xét bài toán phi tuyến. Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều nên trong luận văn không tránhkhỏi những hạn chế và sai sót. Tác giả mong nhận được sự góp ý và những ýkiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc. 3Bảng ký hiệuA⊗I Tích tensor.B (p), C (η), D (ζ) Bộ điều kiện về cấp chính xác.C Tập số phức.Cn Không gian vectơ phức n chiều.I Ma trận đơn vị.K (Z) Hàm ổn định với bài toán y 0 = λ (x) y.Pk (x) Đa thức trực giao Legendre.Pkj (z) Xấp xỉ Padé. ...