Luận văn Thạc sĩ Toán học: Từ bài toán quy hoạch toàn phương đến bất đẳng thức biến phân affine

Luận văn trình bày một số kiến thức cơ bản nhất về tập lồi, hàm lồi và hàm toàn phương như: tập affine và bao affine; tập lồi, nón lồi và bao lồi; điểm cực biên, phương lùi xa, nón lùi xa và phương cực biên; các định lý tách tập lồi; tập lồi đa diện; hàm lồi và các tính chất; hàm toàn phương. Mời các bạn tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Từ bài toán quy hoạch toàn phương đến bất đẳng thức biến phân affine ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ SIMTỪ BÀI TOÁN QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNGĐẾN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN AFFINE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ SIMTỪ BÀI TOÁN QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNGĐẾN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN AFFINE Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH. LÊ DŨNG MƯU Thái Nguyên - 2017 iMục lụcBảng ký hiệu 1Lời nói đầu 21 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Tập affine và bao affine . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Tập lồi, nón lồi và bao lồi . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3 Điểm cực biên, phương lùi xa, nón lùi xa và phương cực biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.4 Các định lý tách tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.5 Tập lồi đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.6 Hàm lồi và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Hàm toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1 Ma trận xác định dương và ma trận nửa xác định dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2 Hàm toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Bài toán quy hoạch toàn phương 15 2.1 Giới thiệu bài toán và sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . 15 2.1.1 Định nghĩa bài toán quy hoạch toàn phương . . . . 15 2.1.2 Các dạng bài toán quy hoạch toàn phương . . . . . 17 2.1.3 Điều kiện tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Điều kiện tối ưu (Điều kiện Karush-Kuhn-Tucker (KKT)) . 293 Bài toán bất đẳng thức biến phân affine 31 3.1 Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ii 3.1.1 Bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1.2 Bất đẳng thức biến phân affine . . . . . . . . . . . 32 3.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân affine 36 3.3 Giải bài toán quy hoạch toàn phương bằng cách đưa về bài toán bất đẳng thức biến phân affine . . . . . . . . . . . . . 40Kết luận 44Tài liệu tham khảo 45 1Bảng ký hiệuR tập số thựchx, yi tích vô hướng của hai vectơ x và ykxk chuẩn của vectơ xI ánh xạ đơn vịA ⊆ Rn A là tập con trong Rndim A số chiều của tập Aaf f E bao affine của Econe E bao nón sinh bởi EcoA bao lồi của tập A 2Lời nói đầu Bài toán quy hoạch toàn phương lồi là một lớp bài toán quan trọng vềtối ưu vì bài toán này có rất nhiều ứng dụng trong thực tế. Bài toán bất đẳng thức biến phân cũng là một lớp bài toán quan trọng.Một lớp bài toán bất đẳng thức biến phân hay được xét là bài toán bất đẳngthức biến phân affine. Có thể nói bài toán bất đẳng thức biến phân affine làmột dạng tổng quát của bài toán quy hoạch toàn phương với ràng buộc lồi. Trong luận văn này xét đến mối quan hệ giữa bài toán quy hoạch toànphương với ràng buộc lồi với bài toán bất đẳng thức biến phân. Ta nhận thấylà bài toán quy hoạch toàn phương lồi có thể mô tả dưới một bài toán bấtđẳng thức biến phân đơn điệu. Tuy nhiên, không phải mọi bài toán bất đẳngthức biến phân affine đều sinh ra từ bài toán quy hoạch toàn phương. Quađây ta thấy sự phát triển từ bài toán quy hoạch toàn phương đến bất đẳngthức biến phân affine. Cụ thể trong luận văn gồm ba chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trình bày một số kiến thức cơ bản nhấtvề tập lồi, hàm lồi và hàm toàn phương như: tập affine và bao affine; tậplồi, nón lồi và bao lồi; điểm cực biên, phương lùi xa, nón lùi xa và phươngcực biên; các định lý tách tập lồi; tập lồi đa diện; hàm lồi và các tính chất;hàm toàn phương. Chương 2: Bài toán quy hoạch toàn phương. Trình bày định nghĩa bàitoán quy hoạch toàn phương, các dạng bài toán, điều kiện tồn tại nghiệm vàđiều kiện tối ưu của bài toán quy hoạch toàn phương. Chương 3: Bài toán bất đẳng thức biến phân affine. Giới thiệu về bàitoán bất đẳng thức biến phân affine, điều kiện tồn tại nghiệm của bài toánbất đẳng thức biến phân affine và phương pháp giải bài toán quy hoạchtoàn phương bằng cách đưa về bài toán bất đẳng thức biến phân affine. 3Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học – Đại học TháiNguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Lê Dũng Mưu.Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướngdẫn khoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thờigian hướng dẫn và tận tình giải đáp những thắc mắc của tác giả trong suốtquá trình làm luận văn. Tác giả cũng đã học tập được rất nhiều kiến thức chuyên ngành bổ íchcho công tác và nghiên cứu của bản thân. Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơnsâu sắc tới các thầy giáo, cô giáo đã tham gia giảng dạy lớp Cao học ToánK9Y (khóa 2015–2017); Nhà trường và các phòng c ...