Luận văn Thạc sĩ Toán học: Ước lượng Gradient cho phương trình p-laplacian
Số trang: 37
Loại file: pdf
Dung lượng: 435.61 KB
Lượt xem: 11
Lượt tải: 0
Xem trước 4 trang đầu tiên của tài liệu này:
Thông tin tài liệu:
Nội dung luận văn chủ yếu đề cập đến các kết quả đối với nghiệm dương của phương trình dạng p-Laplacian Lichnerowicz trên không gian đo metric trơn. Nhắc lại rằng không gian đo metric trơn là một bộ ba (M, g, dµ), trong đó (M,g) là một đa tạp Riemann n chiều, đủ và dµ:= e−fdv với f là một hàm trơn giá trị thực cố định trên M, trong đó dv là dạng thể tích Riemann. Trên M, ta xét toán tử vi phân ∆f, gọi là f-Laplacian. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Ước lượng Gradient cho phương trình p-laplacian ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------ Lê Văn Đại ƯỚC LƯỢNG GRADIENTCHO PHƯƠNG TRÌNH p-LAPLACIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2019 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------ Lê Văn Đại ƯỚC LƯỢNG GRADIENT CHO PHƯƠNG TRÌNH p-LAPLACIANChuyên ngành: Toán giải tíchMã số: 8460101.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. Nguyễn Thạc Dũng Hà Nội - Năm 2019Mục lụcLời cảm ơn iDanh mục ký hiệu 1Lời nói đầu 31 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Hệ frame địa phương, toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Đa tạp Riemann và các toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Trường tenxơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 Đa tạp Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.3 Đa tạp Riemann đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.4 Các toán tử trên đa tạp Riemann . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.5 Độ cong m-Bakry-Émery Ricci . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Tích phân trên đa tạp Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Ước lượng gradient cho phương trình p-Laplacian 12 2.1 Ước lượng tích phân gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Ước lượng chuẩn Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 Ước lượng gradient cho nghiệm phương trình p-Laplacian . . . . . 28 2.4 Các hệ quả và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Kết luận 31Tài liệu tham khảo 32 i LỜI CẢM ƠNTrước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy, PGS. TS Nguyễn Thạc Dũng vềsự hướng dẫn tận tình và sự truyền cảm hứng trong khoa học cũng như nhữngmối quan tâm đặc biệt trong cuộc sống. Tiếp theo, tôi xin gửi lời cảm ơn đến các cán bộ trong Khoa Toán-Cơ-Tinhọc, đặc biệt là các thầy thuộc môn Giải tích, về những bài giảng sâu sắc, lôicuốn và sự giúp đỡ chân thành. Tôi cũng cảm ơn các thành viên lớp Cao học khóa 2017-2019 về những sựgiúp đỡ, trao đổi, sẻ chia trong suốt quá trình học tập tại trường ĐHKHTN-ĐHQGHN. Cuối cùng, tôi cảm ơn gia đình và bạn bè đã luôn động viên tôi trong học tậpvà cuộc sống. iiDanh mục ký hiệu Rn Không gian Euclid thực n chiều A := B A định nghĩa bởi B Tp M Không gian tiếp xúc của đa tạp M tại điểm p TM Phân thớ tiếp xúc T ∗M Phân thớ đối tiếp xúc Tp∗ M Không gian đối ngẫu của Tp M tại điểm p (M, g) Đa tạp Riemann với metric g hX, Y i gp (X, Y ) p |X| Chuẩn của vectơ X: g(X, Y ) ∇ Toán tử gradient ui Tọa độ thứ i của véc tơ ∇u ∆ Toán tử Laplace div Toán tử divergence Hess Toán tử Hessian ⊗ Tích tensơ Ricf Tensor Barky-Émery Ricci trên đa tạp M B0 (R) Quả cầu trắc địa tâm 0, bán kính R k . kLp Phép lấy chuẩn trên không gian Lp . Ck Hàm trơn cấp k C0∞ Hàm trơn, có giá compact ∇X Y Liên thông Riemann của trường vectơ X, Y [X, Y ] Toán tử móc Lie du Toán tử vi phân của hàm thực u 1MỤC LỤC V Thể tích quả cầu B0 (R) ∂/∂i Trường vectơ tọa độ ∂i Trường vectơ tọa độ 2 Kết thúc chứng minh 2Lời nói đầu Nội dung luận văn chủ yếu đề cập đến các kết quả đối với nghiệm dươngcủa phương trình dạng p-Laplacian Lichnerowicz trên không gian đo metric trơn.Nhắc lại rằng không gian đo metric trơn là một bộ ba (M, g, dµ), trong đó (M, g)là một đa tạp Riemann n chiều, đủ và dµ := e−f dv với f là một hàm trơn giátrị thực cố định trên M , trong đó dv là dạng thể tích Riemann. Trên M , ta xéttoán tử vi phân ∆f , gọi là f -Laplacian, được định nghĩa bởi ∆f . := ∆. − h∇f, ∇.i .Trên không gian đo metric trơn có một sự tương tự rất tự nhiên của độ congRicci, gọi là độ cong m-Bakry-Émery Ricci, được xác định như sau ∇f ⊗ ∇f Ricm f := Ric + Hessf − (n < m ≤ ∞). m−nĐặc biệt, khi m = ∞, Ric∞ f := Ricf := Ric + Hessf gọi là độ cong Bakry-Émery.Độ cong này được giới thiệu ở [2] bởi Bakry-Émery khi nghiên cứu về sự khuếchtán trong lí thuyết về dòng Ricci. Trường hợp sử dụng m = n chỉ được xác địnhkhi f là hàm hằng. Toán ...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Ước lượng Gradient cho phương trình p-laplacian ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------ Lê Văn Đại ƯỚC LƯỢNG GRADIENTCHO PHƯƠNG TRÌNH p-LAPLACIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2019 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------ Lê Văn Đại ƯỚC LƯỢNG GRADIENT CHO PHƯƠNG TRÌNH p-LAPLACIANChuyên ngành: Toán giải tíchMã số: 8460101.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. Nguyễn Thạc Dũng Hà Nội - Năm 2019Mục lụcLời cảm ơn iDanh mục ký hiệu 1Lời nói đầu 31 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Hệ frame địa phương, toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Đa tạp Riemann và các toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Trường tenxơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 Đa tạp Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.3 Đa tạp Riemann đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.4 Các toán tử trên đa tạp Riemann . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.5 Độ cong m-Bakry-Émery Ricci . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Tích phân trên đa tạp Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Ước lượng gradient cho phương trình p-Laplacian 12 2.1 Ước lượng tích phân gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Ước lượng chuẩn Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 Ước lượng gradient cho nghiệm phương trình p-Laplacian . . . . . 28 2.4 Các hệ quả và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Kết luận 31Tài liệu tham khảo 32 i LỜI CẢM ƠNTrước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy, PGS. TS Nguyễn Thạc Dũng vềsự hướng dẫn tận tình và sự truyền cảm hứng trong khoa học cũng như nhữngmối quan tâm đặc biệt trong cuộc sống. Tiếp theo, tôi xin gửi lời cảm ơn đến các cán bộ trong Khoa Toán-Cơ-Tinhọc, đặc biệt là các thầy thuộc môn Giải tích, về những bài giảng sâu sắc, lôicuốn và sự giúp đỡ chân thành. Tôi cũng cảm ơn các thành viên lớp Cao học khóa 2017-2019 về những sựgiúp đỡ, trao đổi, sẻ chia trong suốt quá trình học tập tại trường ĐHKHTN-ĐHQGHN. Cuối cùng, tôi cảm ơn gia đình và bạn bè đã luôn động viên tôi trong học tậpvà cuộc sống. iiDanh mục ký hiệu Rn Không gian Euclid thực n chiều A := B A định nghĩa bởi B Tp M Không gian tiếp xúc của đa tạp M tại điểm p TM Phân thớ tiếp xúc T ∗M Phân thớ đối tiếp xúc Tp∗ M Không gian đối ngẫu của Tp M tại điểm p (M, g) Đa tạp Riemann với metric g hX, Y i gp (X, Y ) p |X| Chuẩn của vectơ X: g(X, Y ) ∇ Toán tử gradient ui Tọa độ thứ i của véc tơ ∇u ∆ Toán tử Laplace div Toán tử divergence Hess Toán tử Hessian ⊗ Tích tensơ Ricf Tensor Barky-Émery Ricci trên đa tạp M B0 (R) Quả cầu trắc địa tâm 0, bán kính R k . kLp Phép lấy chuẩn trên không gian Lp . Ck Hàm trơn cấp k C0∞ Hàm trơn, có giá compact ∇X Y Liên thông Riemann của trường vectơ X, Y [X, Y ] Toán tử móc Lie du Toán tử vi phân của hàm thực u 1MỤC LỤC V Thể tích quả cầu B0 (R) ∂/∂i Trường vectơ tọa độ ∂i Trường vectơ tọa độ 2 Kết thúc chứng minh 2Lời nói đầu Nội dung luận văn chủ yếu đề cập đến các kết quả đối với nghiệm dươngcủa phương trình dạng p-Laplacian Lichnerowicz trên không gian đo metric trơn.Nhắc lại rằng không gian đo metric trơn là một bộ ba (M, g, dµ), trong đó (M, g)là một đa tạp Riemann n chiều, đủ và dµ := e−f dv với f là một hàm trơn giátrị thực cố định trên M , trong đó dv là dạng thể tích Riemann. Trên M , ta xéttoán tử vi phân ∆f , gọi là f -Laplacian, được định nghĩa bởi ∆f . := ∆. − h∇f, ∇.i .Trên không gian đo metric trơn có một sự tương tự rất tự nhiên của độ congRicci, gọi là độ cong m-Bakry-Émery Ricci, được xác định như sau ∇f ⊗ ∇f Ricm f := Ric + Hessf − (n < m ≤ ∞). m−nĐặc biệt, khi m = ∞, Ric∞ f := Ricf := Ric + Hessf gọi là độ cong Bakry-Émery.Độ cong này được giới thiệu ở [2] bởi Bakry-Émery khi nghiên cứu về sự khuếchtán trong lí thuyết về dòng Ricci. Trường hợp sử dụng m = n chỉ được xác địnhkhi f là hàm hằng. Toán ...
Tìm kiếm theo từ khóa liên quan:
Luận văn Thạc sĩ Luận văn Thạc sĩ Toán học Ước lượng gradientm Phương trình p-laplacian Không gian đo metric trơn Hàm trơn giá trị thựcTài liệu liên quan:
-
Luận văn Thạc sĩ Kinh tế: Quản trị chất lượng dịch vụ khách sạn Mường Thanh Xa La
136 trang 368 5 0 -
97 trang 333 0 0
-
97 trang 317 0 0
-
Luận văn Thạc sĩ Khoa học máy tính: Tìm hiểu xây dựng thuật toán giấu tin mật và ứng dụng
76 trang 305 0 0 -
155 trang 290 0 0
-
115 trang 270 0 0
-
64 trang 268 0 0
-
26 trang 266 0 0
-
70 trang 226 0 0
-
128 trang 226 0 0