Luận văn Thạc sĩ Toán học: Vấn đề biểu diễn một số tự nhiên thành tổng của ba số có dạng [n2/a] và giả thuyết của Farhi

Trong Lý thuyết số, ta đã biết có rất nhiều kết quả về việc biểu diễn một số tự nhiên thành tổng các bình phương của một số cố định các số nguyên. Lagrange đã chứng minh mỗi số tự nhiên có thể biểu diễn thành tổng của bốn hạng tử là bình phương của 4 số nguyên. Gauss cũng đã chỉ ra rằng mỗi số tự nhiên N ≡ 3 (mod 8) đều có thể biểu diễn được thành tổng các bình phương của ba số lẻ... Mời các bạn cùng tìm hiểu nội dung luận văn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Vấn đề biểu diễn một số tự nhiên thành tổng của ba số có dạng [n2/a] và giả thuyết của Farhi ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THÚY HẠNH VẤN ĐỀ BIỂU DIỄN MỘT SỐ TỰ NHIÊN j 2kTHÀNH TỔNG CỦA BA SỐ CÓ DẠNG na VÀ GIẢ THUYẾT CỦA FARHI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THÚY HẠNH VẤN ĐỀ BIỂU DIỄN MỘT SỐ TỰ NHIÊN j 2kTHÀNH TỔNG CỦA BA SỐ CÓ DẠNG na VÀ GIẢ THUYẾT CỦA FARHI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. NÔNG QUỐC CHINH Thái Nguyên - 2017 3Mục lụcDanh sách ký hiệu 4Mở đầu 5Chương 1. Sự phân tích một số nguyên thành tổng các bình phương 8 1.1 Tóm tắt kết quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Công thức đệ quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Biểu diễn số tự nhiên thành tổng của một số chẵn các bình phương . 10Chương 2. Hai giả thuyết của Farhi 16 2.1 Giả thuyết 1 của Farhi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Giả thuyết 2 của Farhi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.1 Giả thuyết củajFarhi k về biểu diễn số nguyên thành tổng của n2 ba số có dạng 3 (n ∈ N) . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.2 Một số trường hợp đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Kết luận 33Tài liệu tham khảo 34 4Danh sách ký hiệu ∃ ký hiệu “tồn tại” ∀ ký hiệu “với mọi” N tập hợp các số tự nhiên Z tập hợp các số nguyên a∈A a thuộc tập hợp A a∈ /A a không thuộc tập hợp A #X lực lượng của tập hợp X · · ký hiệu Jacobi bac phần nguyên của số a hai phần lẻ của số a mod p modulo p a ≡ b (mod p) a đồng dư với b theo modulo p a 6≡ b (mod p) a không đồng dư với b theo modulo p a|b a là ước của b m m ∏ bi (tích hữu hạn) ∏ bi = b1 · b2 · · · bm i=1 i=1 ∏ P(d) tích tất cả các phần tử P(d) với d là ước của n d|n m m ∑ bi (tổng hữu hạn) ∑ bi = b1 + b2 + · · · + bm i=1 i=1 ∞ ∞ ∑ bn (chuỗi vô hạn) ∑ bn = b1 + b2 + · · · + bn + · · · n=1 n=1 5Mở đầu Trong Lý thuyết số, ta đã biết có rất nhiều kết quả về việc biểu diễn mộtsố tự nhiên thành tổng các bình phương của một số cố định các số nguyên.Lagrange đã chứng minh mỗi số tự nhiên có thể biểu diễn thành tổng củabốn hạng tử là bình phương của 4 số nguyên. Gauss cũng đã chỉ ra rằng mỗisố tự nhiên N ≡ 3 (mod 8) đều có thể biểu diễn được thành tổng các bìnhphương của ba số lẻ. . . Vấn đề này cũng được Fermat và Cauchy nghiên cứuvà đã có nhiều kết quả. Legendre đã chứng minh được rằng mỗi số tự nhiêncó thể viết được thành tổng các bình phương của 5 số nguyên mà một trong5 số đó là 0 hoặc 1. Legendre cũng chứng minh được rằng mỗi số tự nhiênkhông có dạng 4h (8k + 7) với h, k ∈ N đều có thể viết được thành tổng cácbình phương của 3 số nguyên. Năm 2013, B. Farhi đã có bài báo trình bày việc biểu diễn một số tự j 2knhiên thành tổng của ba số có dạng na với a = 8, a = 4 và đưa ra hai giảthuyết:GIẢ THUYẾT 1. “Mỗi số tự nhiên đều có thể viết thành tổng của 3 số có j 2k dạng na ”,và trường hợp tổng quát hơn với giả thuyết sau:GIẢ THUYẾT 2. “Với k > 2, luôn tồn tại một số a(k) sao cho mỗi số tự 6 nhiên đều có thể biểu diễn thành tổng của (k + 1) số có j 2k dạng na , n ∈ N”. Mục tiêu của luận văn là trình bày các kết quả năm 2013 của Farhi trong[3] và việc giải quyết một phần của hai giả thuyết đã nêu của Farhi thôngqua hai bài báo [5] và [6]. Ngoài các phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, luận văn gồm haichương như sau: • Chương 1. Sự phân tích một số nguyên thành tổng các bình phương. Chương này sẽ trình bày lại một kết quả về sự phân tích một số nguyên thành tổng các bình phương. Các phân tích được quan tâm là sự biểu diễn một số thành một số chẵn các bình phương. • Chương 2. Hai giả thuyết của Farhi. Mục tiêu của Chương 2 là trình bày về hai hai giả thuyết của Farhi. Trước hết là sự biểu diễn của một số 2 tự nhiên thành tổng của ba số tự nhiên có dạng b na c (n ∈ N), trong đó a là một số nguyên dương cố định. Phần này sẽ được tham khảo chính trong B. Farhi [3]. Tiếp theo, chúng tôi sẽ là trình bày kết quả về việc giải quyết một phần của hai giả thuyết đã nêu của Farhi (trong Chương 1) thông qua các tài liệu [5, 6]. Tác giả hi vọng rằng luận văn này sẽ là một tài liệu tham khảo hữu íchvề lĩnh vực Lý thuyết số ...