Luận văn Thạc sĩ Toán học: Vành các hàm số học và một vài ứng dụng

Mục đích của luận văn là hệ thống các tính chất của vành các hàm số học, đạo hàm của hàm số học. Tiếp theo, trình bày một số kết quả, tính chất của một vài hàm số học đặc biệt và các dạng bài toán ứng dụng liên quan. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Vành các hàm số học và một vài ứng dụng ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THU GIANGVÀNH CÁC HÀM SỐ HỌCVÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, NĂM 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THU GIANGVÀNH CÁC HÀM SỐ HỌCVÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNGChuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NÔNG QUỐC CHINH THÁI NGUYÊN, NĂM 2015 iMục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iMở đầu 11 Các kiến thức chuẩn bị 2 1.1 Định nghĩa nhóm, nhóm xyclic, nhóm con . . . . . . . . 2 1.2 Định nghĩa vành, idean, miền nguyên . . . . . . . . . . . 3 1.3 Ước chung lớn nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Vành các hàm số học 8 2.1 Vành các hàm số học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 Các tính chất của vành các hàm số học . . . . . . . . . . 103 Một vài hàm số học cơ bản 16 3.1 Giá trị trung bình của hàm số học . . . . . . . . . . . . . 16 3.2 Hàm số M¨obius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.3 Hàm nhân tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.4 Giá trị trung bình của phi - hàm Euler . . . . . . . . . . 33 3.5 Một số bài toán áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Kết luận 42Tài liệu tham khảo 43 1Mở đầu Trong lý thuyết số, các hàm số học có vai trò hết sức quan trọng.Nhiều nhà toán học nổi tiếng thế giới khi nghiên cứu về các hàm số họcđã có nhiều kết quả hết sức lý thú và có giá trị, được ứng dụng rộng rãitrong lý thuyết số nói riêng và trong toán học nói chung. Mục đích của luận văn là hệ thống các tính chất của vành các hàmsố học, đạo hàm của hàm số học. Tiếp theo, trình bày một số kết quả,tính chất của một vài hàm số học đặc biệt và các dạng bài toán ứngdụng liên quan. Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, luận văn được chia thành bachương đề cập đến các vấn đề sau đây: Chương 1 trình bày về các kiến thức chuẩn bị liên quan đến kháiniệm nhóm, vành, các vấn đề về ước số và ước chung lớn nhất. Chương 2 trình bày các tính chất và các dạng toán về vành số học. Chương 3 trình bày một số lớp hàm số học như hàm M¨obius (thuậnvà đảo), hàm nhân tính, phi - hàm Euler và các ứng dụng liên quantrong số học. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với Phó Giáo sư, Tiến sĩNông Quốc Chinh, người thầy đã trực tiếp hướng dẫn, cung cấp tài liệuvà truyền đạt những kinh nghiệm nghiên cứu cho tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong khoa Toán - Tin,phòng Đào tạo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, TrườngTHPT Hòn Gai và bạn bè đồng nghiệp đã giúp đỡ tạo điều kiện cho tôihoàn thành bản luận văn này. 2Chương 1Các kiến thức chuẩn bị1.1 Định nghĩa nhóm, nhóm xyclic, nhóm conĐịnh nghĩa 1.1 (Định nghĩa nhóm). Một tập hợp G được gọi là mộtnhóm nếu tồn tại một ánh xạ từ tích Descartes G × G vào G (ảnh củaphần tử (a, b) ∈ G × G, với a, b là những phần tử tùy ý của G, qua ánhxạ này ta kí hiệu là ab) thỏa mãn các tính chất sau đây(G1) Kết hợp: a(bc) = (ab)c, ∀a, b, c ∈ G.(G2) Có đơn vị: Tồn tại một phần tử a ∈ G sao cho ae = ea = a, ∀a ∈ G.(G3) Có nghịch đảo: Với mỗi phần tử a ∈ G luôn tồn tại một phần tử b ∈ G sao cho ab = ba = e. Phần tử ab được gọi là tích của a và b và ánh xạ xác định tích ở trên được gọi là phép toán trên nhóm nhân G. Phần tử e trong(G2) được gọi là phần tử đơn vị của G, phần tử b trong (G3) được gọi là phần tử nghịch đảo của a trong G và kí hiệu là a−1 .Nếu ab = ba, ∀a, b ∈ G, thì nhóm G được gọi là nhóm Abel, hay là nhómgiao hoán. Một nhóm G được gọi là hữu hạn hay vô hạn nếu tập hợp G là hữuhạn hay vô hạn phần tử. Trường hợp nhóm G là hữu hạn thì số phần tửcủa G được gọi là cấp của nhóm đó và kí hiệu là |G|. 3Định nghĩa 1.2. Một nhóm G được gọi là nhóm xyclic nếu mọi phầntử của nó đều là lũy thừa của một phần tử a ∈ G. Khi đó ta gọi a làphần tử sinh của nhó ...