Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về các bất đẳng thức dạng Hermite - hadamard cho hàm lồi

Luận văn trình bày một số đặc trưng cơ bản của hàm lồi khả vi, chứng minh các bất đẳng thức dạng Hermite - Hadamard cho hàm lồi một biến, một số mở rộng và ứng dụng của bất đẳng thức Hermite - Hadamard. Mời các bạn tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về các bất đẳng thức dạng Hermite - hadamard cho hàm lồi ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG THỊ QUỲNH LIÊN VỀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC DẠNGHERMITE-HADAMARD CHO HÀM LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG THỊ QUỲNH LIÊN VỀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC DẠNGHERMITE-HADAMARD CHO HÀM LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. TẠ DUY PHƯỢNG Thái Nguyên - 2016 iMục lụcMở đầu 1Chương 1. Bất đẳng thức dạng Hermite - Hadamard 4 1.1 Một số đặc trưng cơ bản của hàm lồi khả vi . . . . . . . 4 1.2 Bất đẳng thức Hermite - Hadamard . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Một số mở rộng của bất đẳng thức Hermite - Hadamard 12 1.4 Ứng dụng của bất đẳng thức Hermite - Hadamard trong toán sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Chương 2. Bất đẳng thức dạng Hermite - Hadamard cho hàm lồi khả vi 30 2.1 Bất đẳng thức dạng Hermite - Hadamard cho hàm lồi khả vi bậc nhất và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.1.1 Bất đẳng thức dạng Hermite - Hadamard cho hàm lồi khả vi bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.1.2 Ứng dụng vào đánh giá các đại lượng trung bình . 37 2.2 Bất đẳng thức dạng Hermite - Hadamard cho hàm lồi khả vi cấp hai và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2.1 Bất đẳng thức dạng Hermite - Hadamard cho hàm lồi khả vi cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2.2 Ứng dụng vào đánh giá các đại lượng trung bình . 46Tài liệu tham khảo 52 1Mở đầu Giải tích lồi đã và đang đóng một vị trí quan trọng trong toán học. Giảitích lồi liên quan đến rất nhiều ngành của toán học như giải tích, giải tíchhàm, giải tích số, hình học, toán kinh tế, tối ưu phi tuyến,... Một kết quảkinh điển trong giải tích lồi là Bất đẳng thức Hermite - Hadamard (H-HInequality) cho hàm lồi, được phát biểu trong Định lý dưới đây.Định lý 0.0.1. (Hermite, 1881, [7], Hadamard, 1893, [6]) Nếu f : R → Rlà hàm lồi trên đoạn [a; b] thì ta có Zb a+b 1 f (a) + f (b) f ≤ f (t)dt ≤ . (1) 2 b−a 2 a Năm 1906, Fejér [8] đã mở rộng bất đẳng thức (1) thành bất đẳng thức(2), sau này được gọi là bất đẳng thức Fejér.Định lý 0.0.2. Nếu f : R → R là hàm lồi trên đoạn [a; b] và g : [a; b] → R a+blà một hàm không âm, khả tích và đối xứng qua điểm x = thì 2 Zb Zb Zb a+b f (a) + f (b) f g(t)dt ≤ f (t)g(t)dt ≤ g(t)dt. (2) 2 2 a a a Khi g(x) ≡ 1 thì bất đẳng thức Fejér trở thành bất đẳng thức Hermite- Hadamard. Sau đó, nhiều tác giả đã mở rộng bất đẳng thức Hermite- Hadamard và bất đẳng thức Fejér. Xem, thí dụ, các cuốn sách chuyênkhảo về bất đẳng thức [1], [2] và các tài liệu tham khảo khác. 2 Các bất đẳng thức dạng Hermite - Hadamard có nhiều ứng dụng thựctế, thí dụ, trong các bài toán: đặc trưng hàm lồi, quan hệ giữa các đạilượng trung bình, lí thuyết xấp xỉ,... Mục đích chính của Luận văn là trình bày tổng quan về các bất đẳngthức dạng Hermite - Hadamard cho hàm lồi. Luận văn bố cục theo hai chương: Chương 1: Trình bày một số đặc trưng cơ bản của hàm lồi khả vi, chứngminh các bất đẳng thức dạng Hermite - Hadamard cho hàm lồi một biến,một số mở rộng và ứng dụng của bất đẳng thức Hermite - Hadamard. Chương 2: Trình bày chứng minh các bất đẳng thức dạng Hermite -Hadamard cho hàm lồi một biến khả vi (cấp một, cấp hai) trên đoạn [a; b],đồng thời cũng nêu ứng dụng của nó trong đánh giá các giá trị trung bình. Sau một thời gian cố gắng, nỗ lực học tập và nghiên cứu, đến nay tôiđã hoàn thành luận văn thạc sĩ của mình. Để có được kết quả này, trướctiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và lời cảm ơn chân thành nhất đếnthầy tôi, PGS. TS. Tạ Duy Phượng, người đã định hướng nghiên cứu khoahọc và luôn tận tình chỉ dạy cho tôi trong suốt thời gian thực hiện luậnvăn. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô ở trường Đại họcKhoa học, Đại học Thái Nguyên và các thầy cô ở Viện Toán học đã luôntận tình giúp đỡ, theo dõi và động viên cho tôi trong suốt quá trình thựchiện luận văn. Tôi xin gửi lời cảm ơn tới bạn bè thân yêu, đồng nghiệp đang công táctại trường THPT Trần Nhật Duật luôn thông cảm, chia sẻ khó khăn vàtạo điều kiện tốt nhất để tôi có thể học tập, nghiên cứu và hoàn thành 3những công việc của mình. Tôi cũng xin gửi những lời cảm ơn đặc biệt nhất tới những người thânyêu trong gia đình đã luôn chia sẻ với tôi những khó khăn trong khi tôithực hiện luận văn. Thái Nguyên, tháng 5 năm 2016 Tác giả Hoà ...