Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về định lí Hilbert thứ 17

Một đa thức f như thế được gọi là đa thức nửa xác định dương, ta viết tắt là psd. Năm 1885, Minkowski đã trình bày tại buổi bảo vệ luận văn về các dạng bậc hai đã khẳng định giả thuyết rằng "tồn tại một đa thức thuần nhất, thực, psd, có bậc > 2 và số biến > 2 mà nó không là tổng bình phương của các đa thức thực thuần nhất".
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về định lí Hilbert thứ 17 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHAN VĂN DÂNVỀ ĐỊNH LÍ HILBERT THỨ 17 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHAN VĂN DÂNVỀ ĐỊNH LÍ HILBERT THỨ 17Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấpMã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. Nguyễn Văn Hoàng THÁI NGUYÊN - NĂM 2017 iMục lụcLời cảm ơn 1Lời mở đầu 21 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4 1.1 Mở rộng trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Bậc siêu việt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Đại số, đồng cấu đại số . . . . . . . . . . . . . . . . 62 ĐỊNH LÍ HILBERT THỨ 17 7 2.1 Một số ví dụ liên quan đến Bài toán thứ 17 của Hilbert 7 2.2 Định lý Artin - Cassels - Pfister . . . . . . . . . . . . 15 2.3 Lý thuyết của Artin và Bài toán thứ 17 của Hilbert . . 20 2.3.1 Trường thực hình thức . . . . . . . . . . . . . 20 2.3.2 Định lý Sylvester về trường đóng thực . . . . . 24 2.3.3 Bài toán thứ 17 của Hilbert . . . . . . . . . . 29Kết luận 34Tài liệu tham khảo 35 1Lời cảm ơn Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học – Đại họcThái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hoàng.Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướngdẫn khoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thờigian hướng dẫn và tận tình giải đáp những thắc mắc của tác giả trong suốtquá trình làm luận văn. Tác giả cũng đã học tập được rất nhiều kiến thức chuyên ngành bổ íchcho công tác và nghiên cứu của bản thân. Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơnsâu sắc tới các thầy giáo, cô giáo đã tham gia giảng dạy lớp Cao học ToánK9b2 (khóa 2015–2017); Nhà trường và các phòng chức năng của Trường;Khoa Toán – Tin, trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên đã quantâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Trung tâm Nghiên cứu và Pháttriển giáo dục Hải Phòng đã giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tôi cóthể hoàn thành luận văn này. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K9b2 (khóa2015–2017) đã luôn động viên và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trìnhhọc tập, nghiên cứu. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, lãnhđạo đơn vị công tác và đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiệntốt nhất cho tôi khi học tập và nghiên cứu. Thái Nguyên, tháng 9 năm 2017 Tác giả Phan Văn Dân 2Mở đầu Một định lí nổi tiếng của Lagrange nói rằng với mỗi số nguyên dương ađều biểu diễn được thành tổng của bốn số chính phương. Vì vậy, người taquan tâm đến câu hỏi liệu rằng có thể mở rộng vấn đề cho đa thức. Xét đathức hệ số thực n biến f ∈ R[x1 . . . , xn ]. Sự tương tự của giả thiết a ≥ 0 trongbài toán đối với các số nguyên, được thay thế bởi giả thiết f (x1 , . . . , xn ) ≥ 0với mọi giá trị của x1 , . . . , xn ∈ R. Một đa thức f như thế được gọi là đathức nửa xác định dương, ta viết tắt là psd. Năm 1885, Minkowski đã trình bầy tại buổi bảo vệ luận án về các dạngbậc hai đã khẳng định giả thuyết rằng tồn tại một đa thức thuần nhất,thực, psd, có bậc > 2 và số biến > 2 mà nó không là tổng bình phương củacác đa thức thực thuần nhất. Tại buổi bảo vệ luận án này, người nhận xét là Hilbert đã phản biện lạikết luận của Minkowski, nhưng khi đó ông không đưa ra được một dẫn chứngcụ thể nào. Tuy nhiên Hilbert đã tuyên bố rằng ông đã bị thuyết phục bởisự khám phá của Minknowski cho trường hợp với n = 3, đó là trường hợpđáng chú ý. Năm 1888, Hilbert đã chứng minh giả thuyết của Minknowski bằng cáchchỉ ra sự tồn tại của một đa thức f sao cho f là psd, thực, nhưng f khôngthể viết thành tổng của bình phương của các đa thức. Ngoài ra ông cũng đãnghiên cứu sâu hơn và xem xét vấn đề biểu diễn đa thức psd f ∈ R[x1 , . . . , xn ]thành tổng các bình phương của các hàm hữu tỉ trong R(x1 , . . . , xn ), và phátbiểu Định lí thứ 17 của mình, đó là: Nếu f ∈ R[x1 , . . . , xn ] là psd, thì f làtổng của bình phương của các hàm hữu tỉ trong R(x1 , . . . , xn ). Chú ý rằng nếu ta xét trên C, ở đó ta không có quan hệ thứ tự, khi đóta thấy rằng mỗi đa thức trong C[x1 ...