Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về hàm tổng - LCM

Trong số học, bội chung nhỏ nhất (least common multiple) của hai số nguyên a và b là số nguyên dương nhỏ nhất chia hết cho cả a và b. Ước chung lớn nhất của hai số nguyên a và b là số nguyên dương lớn nhất là ước của cả hai số nguyên a, b. Các kiến thức về bội chung nhỏ nhất và ước chung lớn nhất đã được giảng dạy từ đầu bậc học trung học.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về hàm tổng - LCM ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM VĂN DỰC VỀ HÀM TỔNG - LCM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM VĂN DỰC VỀ HÀM TỔNG - LCM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCChuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấpMã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. TS. Nông Quốc Chinh Thái Nguyên - 2016 iMục lục Danh mục ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Một vài tính chất của bội chung nhỏ nhất 4 1.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Các thuật toán tìm bội chung nhỏ nhất . . . . . . . . . . . 13 1.2.1 Rút gọn về tìm ước chung lớn nhất . . . . . . . . . . 13 1.2.2 Phương pháp dùng phân tích thừa số nguyên tố . . . 16 1.2.3 Phương pháp dùng bảng . . . . . . . . . . . . . . . 182 Hàm tổng bội chung nhỏ nhất 20 2.1 Một số kết quả thường dùng . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.1 Tích chập Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.2 Hàm phi Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.3 Đa thức Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.4 Công thức tổng Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Hàm tổng của bội chung nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 Hàm tổng nghịch đảo của bội chung nhỏ nhất . . . . . . . . 293 Ứng dụng của lý thuyết về bội chung nhỏ nhất của các số nguyên dương trong Toán học phổ thông 36 3.1 Ứng dụng trong toán học phổ thông . . . . . . . . . . . . . 36 3.2 Một số bài toán Olympic về bội chung nhỏ nhất . . . . . . 39 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ii Danh mục ký hiệuN tập số tự nhiênZ tập số nguyênlcm(a, b) BCNN của hai số nguyên a và bgcd(a, b) ƯCLN của hai số nguyên a và bd|a d là ước của af ∗g tích chập DirichletBn (x) đa thức Bernoulliϕ(n) hàm phi Eulerµ(n) hàm M¨obiusζ(s) hàm zeta Riemann 1Lời mở đầu Trong số học, bội chung nhỏ nhất (least common multiple) của hai sốnguyên a và b là số nguyên dương nhỏ nhất chia hết cho cả a và b. Ướcchung lớn nhất của hai số nguyên a và b là số nguyên dương lớn nhất làước của cả hai số nguyên a, b. Các kiến thức về bội chung nhỏ nhất và ướcchung lớn nhất đã được giảng dạy từ đầu bậc học trung học. Trong khiước chung lớn nhất của hai số nguyên được nhiều nhà Toán học nghiêncứu và tìm được nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực toán học thì ngượclại, bội chung nhỏ nhất của hai số nguyên lại ít được nghiên cứu hơn rấtnhiều. Ngoài các tính chất cổ điển, ứng dụng và thuật toán để tính bội chungnhỏ nhất của hai số nguyên đã biết thì các kiến thức mở rộng về nó cònhạn chế. Hàm tổng bội chung nhỏ nhất n X l(n) := lcm(j, n) j=1được nghiên cứu bởi một số tác giả. Năm 1975, Alladi [1] nghiên cứu tổng n X (lcm(j, n))r (r ∈ R, r ≥ 1) j=1và thu được n XX ζ(r + 2) (lcm(j, n))r = 2 x2r+2 + O(x2r+1+ε ), n≤x j=1 2(r + 1) ζ(2) Năm 2007, Bordellès [2] cải tiến sai số trong kết quả của Alladi trongtrường hợp r = 1 và mở rộng cho trường hợp r = −1 bằng các kết quả 2sau 1 l(n) = ((Id2 ·(ϕ + τ0 )) ∗ Id)(n), 2 n XX ζ(3) 4 lcm(j, n) = x + O(x3 (log x)2/3 (log log x)4/3 ) (x > e), n≤x j=1 8ζ(2) n (log x)3 (log x)2 12 A XX 1 = + γ + log + O(log x), n≤x j=1 lcm(j, n) 6ζ(2) 2ζ(2) 2πtrong đó Ida = na (a ∈ Z),  1, nếu n = 1; τ0 (n) = 0, nếu ngược lại,F ∗ G là tích chập Dirichlet thông thường, và A là hằng số Glaisher-Kinkelin. Gần đây nhất, năm 2014, Ikeda và Matsuoka [3] định nghĩa hai hàm n X La (n) := (lcm(j, n))a j=1 X Ta (x) := La (n) n≤xvới mọi a ∈ Z và x ≥ 1. Các tác giả nghiên cứu Ta (x) với a ≥ 2: X ζ(a + 2) La (n) = 2 x2a+2 + O(x2a+1 (log x)2/3 (log log x)4/3 ) n≤x 2(a + 1) ζ(2)khi x → ∞, trong đó hằng số sinh ra chỉ phụ thuộc a, x ≥ 1 và k ∈ N vớik ≥ 2. Với a ≤ −2, các ...