Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về một số bất đẳng thức tích phân trong giải tích lượng tử

Luận văn trình bày một số bất đẳng thức tích phân như bất đẳng thức Steffensen, bất đẳng thức Iyengar, bất đẳng thức Gr¨uss, bất đẳng thức Chebyshev và bất đẳng thức dạng Hermite–Hadamard trên cơ sở đọc hiểu và trình bày lại một cách hệ thống kết quả của H. Gauchman. Mời các bạn tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về một số bất đẳng thức tích phân trong giải tích lượng tử ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- NGUYỄN THỊ THU HUẾVỀ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN TRONG GIẢI TÍCH LƯỢNG TỬ Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. Mai Viết Thuận THÁI NGUYÊN - 2020 1Mục lụcChương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 5 1.1. q−đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. q−tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1. q−nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2. Tích phân Jackson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.3. Định nghĩa và một số tính chất của q−tích phân . . . . . 15 1.3. q−tích phân chặt (restricted definite q−integral) . . . . . . . . . 18Chương 2 Một số bất đẳng thức tích phân trong giải tích lượng tử 21 2.1. Bất đẳng thức q−Steffensen và một số áp dụng . . . . . . . . . 21 2.2. Bất đẳng thức q−Gr¨ uss và một số áp dụng . . . . . . . . . . . . 36 2.3. Bất đẳng thức q−Chebyshev và một số áp dụng của nó . . . . . 40 2.4. Bất đẳng thức q−Hermite-Hadamard . . . . . . . . . . . . . . . 44 2LỜI NÓI ĐẦU Bất đẳng thức tích phân là một chủ đề hay và khó trong toán học. Một sốbất đẳng thức tích phân nổi tiếng và quan trọng có thể kể đến ở đây là bất đẳngthức Steffensen được J.F. Steffensen giới thiệu vào năm 1918, bất đẳng thứcIyengar được K.S.K Iyengar đưa ra vào năm 1938 trong bài báo “Note on aninequality” trên tạp chí “Math. Student”, bất đẳng thức Gr¨ uss được nhà toánhọc G. Gr¨ uss công bố vào năm 1935, bất đẳng thức Hermite-Hadamard đượccông bố bởi Hermite-Hadamard vào những năm 1891. Những bất đẳng thứctrên đã nhận được quan tâm nghiên cứu và mở rộng của nhiều nhà toán họctrên thế giới (xem các tài liệu [7, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23]và các tài liệu tham khảo trong các tài liệu đó). Theo như hiểu biết của chúngtôi, đã có một số luận văn thạc sĩ chuyên ngành phương pháp toán sơ cấp trìnhbày về bất đẳng thức tích phân [5], trong đó bất đẳng thức Hermite-Hadamardnhận được sự quan tâm hơn cả [1, 2, 3, 4, 6]. Chẳng hạn, H.T.Q. Liên [1] trìnhbày bất đẳng thức dạng Hermite-Hadamard cho hàm lồi khả vi. Các bất đẳngthức dạng Hermite-Hadamard cho hàm r−lồi, lớp hàm mở rộng của hàm lồi,được trình bày trong luận văn thạc sĩ toán học chuyên ngành Phương phápToán sơ cấp bởi C.T.N. Mai. Bất đẳng thức dạng Hermite-Hadamard-Fejércho hàm p−lồi và tiền lồi bất biến được trình bày trong các tài liệu [3] và [6].Chú ý rằng các kết quả trên áp dụng cho một số lớp hàm lồi khả vi theo nghĩathông thường và tích phân là khả tích Riemann. Tuy nhiên, việc áp dụng cáckết quả đó vào lập trình tính toán trên máy tính, ta phải xấp xỉ đạo hàm vàtích phân bằng các phương pháp thích hợp. Điều này sẽ dẫn đến sai số trongkhi lập trình. Một câu hỏi tự nhiên đặt ra là liệu có cách nào định nghĩa đạohàm mà không cần lấy giới hạn. Một trong những câu trả lời đó chính là khái 3niệm q−đạo hàm được đề xuất đầu tiên bởi Euler (1707-1783) và được trìnhbày một cách hệ thống trong cuốn sách chuyên khảo “Quantum Calculus” củaV. Kac và P. Cheung. Xét biểu thức dưới đây f (x) − f (x0 ) . (0.1) x − x0Khi cho x tiến tới x0 , nếu giới hạn này tồn tại thì ta thu được đạo hàm của df (x0 )hàm f (x) tại điểm x0 và được ký hiệu là dx . Tuy nhiên nếu cho x = qx0 hoặcx = x0 +h, trong đó q là một số cố định khác 1, h là một số cố định khác khôngvà không lấy giới hạn ta sẽ thu được định nghĩa của q−đạo hàm (q−derivative)hoặc h−đạo hàm (h−derivative) của hàm f (x) tại điểm x0 . Trong cuốn sáchchuyên khảo “Quantum Calculus” (Giải tích lượng tử) [14], các tác giả đã trìnhbày một cách hệ thống các định nghĩa và một số tính chất về q−đạo hàm,h−đạo hàm và q−tích phân. Những năm gần đây, giải tích lượng tử đã nhậnđược sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học vì những ứng dụng củanó trong vật lý [11, 18, 21, 22]. Ngoài ra, nhiều bất đẳng thức tích phân quantrọng cũng được các nhà khoa học nghiên cứu và đề xuất trong các công bốgần đây trên các tạp chí quốc tế uy tín [21, 22]. Luận văn trình bày một số bất đẳng thức tích phân như bất đẳng thức Stef-fensen, bất đẳng thức Iyen ...