Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về phân tích đa thức hai biến thành nhân tử

Luận văn trình bày kiến thức chuẩn bị về đa thức, đa thức bất khả quy, chương này còn trình bày các khái niệm sơ đồ Newton của đa thức; một số khái niệm và tính chất về tập lồi trong Rn ; về đa diện nguyên, đa diện nguyên không phân tích nguyên được và nhận diện một số đa diện nguyên. Mời các bạn tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về phân tích đa thức hai biến thành nhân tử ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- NGUYỄN ĐỨC HẢI VỀ PHÂN TÍCH ĐA THỨCHAI BIẾN THÀNH NHÂN TỬ Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. Ngô Thị Ngoan THÁI NGUYÊN - 2019 iMục lụcMở đầu 11 Một số kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Đa thức bất khả quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Sơ đồ Newton và đa diện Newton . . . . . . . . . . . . 52 Một số tiêu chuẩn bất khả quy của đa thức 12 2.1 Tiêu chuẩn Eisenstein-Dumas . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Đa giác không phân tích nguyên được và tính bất khả quy tuyệt đối của đa thức hai biến . . . . . . . . . . . . 163 Sự phân tích đa thức hai biến thành nhân tử 20 3.1 Sự phân tích đa thức hai biến thành nhân tử . . . . . . 20 3.2 Một số ví dụ ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Tài liệu tham khảo 37 iiLời cảm ơn Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học – Đạihọc Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Ngô ThịNgoan. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tớingười hướng dẫn khoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu,dành thời gian hướng dẫn và tận tình giải đáp những thắc mắc của tácgiả trong suốt quá trình làm luận văn. Tác giả cũng đã học tập được rất nhiều kiến thức chuyên ngành bổích cho công tác và nghiên cứu của bản thân. Tác giả xin bày tỏ lòngcảm ơn sâu sắc tới các thầy giáo, cô giáo đã tham gia giảng dạy lớp Caohọc Toán K11B; Nhà trường và các phòng chức năng của Trường; KhoaToán – Tin, trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên đã quantâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Trung tâm Nghiên cứu vàPhát triển giáo dục Hải Phòng đã giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợigiúp tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K11Bđã luôn động viên và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình học tậpvà làm luận văn. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đãgiúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi khi học tập và nghiên cứu. Thái Nguyên, tháng 11 năm 2019 Tác giả Nguyễn Đức Hải 1Mở đầu Các bài toán về đa thức bất khả quy và bài toán phân tích một đathức thành các nhân tử đã được đưa vào giảng dạy ngay trong chươngtrình toán phổ thông. Việc phân tích đa thức thành nhân tử cho phéphọc sinh chuyển việc giải một phương trình đại số về giải các phươngtrình có bậc thấp hơn. Các tiêu chuẩn để xét tính bất khả quy của đa thức cũng luôn đượcsự quan tâm rất lớn của các nhà toán học từ rất lâu. Chúng ta biết tiêuchuẩn Eisenstein là một tiêu chuẩn khá hữu hiệu để kiểm tra một đathức đã cho là bất khả quy. Nhắc lại rằng, cho R là một vành nhân tửhóa và f = f0 + f1 X + . . . + fn X n ∈ R[X] là đa thức có các hệ tửf0 , f1 , . . . , fn nguyên tố cùng nhau. Nếu tồn tại một phần tử nguyên tốp ∈ R sao cho trừ hạng tử cao nhất fn các hạng tử còn lại của f đềuchia hết cho p và f0 không chia hết cho p2 , thế thì f bất khả quy trongR[X]. Tiêu chuẩn này cho ta một điều kiện đơn giản để kiểm tra mộtđa thức bất khả quy. Những năm qua, nhiều nhà toán học đã khôngngừng mở rộng, tổng quát hóa tiêu chuẩn này. Đặc biệt là việc sử dụngcác yếu tố hình học thông qua Sơ đồ Newton và Đa giác Newton để đưara những tiêu chuẩn rất hiệu quả cho việc kiểm tra tính bất khả quycủa đa thức. Trong luận văn này, chúng tôi sẽ bắt đầu bằng việc giới thiệu phươngpháp sử dụng sơ đồ Newton của đa thức. Nó cho ta khẳng định tính bấtkhả quy của một lớp khá rộng các đa thức dựa vào đặc điểm của sơ đồNewton của chúng thể hiện bởi tiêu chuẩn Eisenstein-Dumas và ta sẽthấy tiêu chuẩn Eisenstein quen thuộc là một trường hợp đặc biệt. Sauđó, bằng phương pháp sử dụng đa giác Newton, chúng tôi trình bày hai 2nội dung:(1) Xét tính bất khả quy của đa thức hai biến qua đa giác Newton.(2) Xét sự phân tích đa thức hai biến với hệ số nguyên thành nhân tử. Chúng ta sẽ thu được các kết quả rất thú vị về tính bất khả quy củađa thức hai biến thông qua đặc điểm không phân tích nguyên được củađa giác Newton của nó. Thông qua việc nhận diện các đoạn thẳng khôngphân tích nguyên được, tam giác không phân tích nguyên đượ ...