Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về phương trình Diophantine dạng Ax2-By2=C

Luận văn với tên đề tài "Về phương trình Diophantine dạng Ax2−By2 = C", với mục đích là trình bày kết quả nghiên cứu của Mollin (2002) [8] được công bố trên tạp chí Acta Math. Univ. Comenianae năm 2002. Nội dung luận văn gồm 2 chương. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về phương trình Diophantine dạng Ax2-By2=C ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- LƢƠNG THỊ MAI ANH VỀ PHƢƠNG TRÌNHDIOPHANTINE DẠNG Ax2 - By2 = C LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- LƢƠNG THỊ MAI ANH VỀ PHƢƠNG TRÌNHDIOPHANTINE DẠNG Ax2 - By2 = C Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC (Xác nhận) PGS.TS. Nông Quốc Chinh THÁI NGUYÊN - 2018Mục lụcMở đầu 2Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Liên phân số hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Liên phân số vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Liên phân số vô hạn tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . 9Chương 2. Về phương trình Diophantine bậc 2 dạng Ax2 − By 2 = C 12 2.1 Phương trình Diophantine x2 − Dy 2 = N . . . . . . . . . . 12 2.2 Phương trình Diophantine dạng Ax2 − By 2 = C . . . . . . 16 2.3 Một số ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Kết luận 40Tài liệu tham khảo 41 2Mở đầu Số học là một bộ môn toán học có đối tượng nghiên cứu là các sốnguyên. Không có gì đơn giản và quen thuộc hơn đối với chúng ta là các sốnguyên. Ngày nay, với sự phát triển của khoa học và công nghệ, đặc biệt làcông nghệ số hóa, đã đòi hỏi con người không ngừng nghiên cứu và khámphá các quy luật, các thuật giải cho các bài toán liên quan tới số nguyên.Bao hàm trong mảng số học, là giải phương trình nghiệm nguyên hay còngọi là phương trình Diophantine. Lớp phương trình này còn tồn tại nhiềubài toán, giả thuyết chưa có câu trả lời. Nó luôn là vấn đề thu hút đượcnhiều nhà Toán học quan tâm nghiên cứu và tìm hiểu. Chính việc đi tìmlời giải cho các bài toán hay chứng minh các giả thuyết về phương trìnhDiophantine đã làm nảy sinh các lý thuyết, phương pháp khác của Toánhọc. Lớp bài toán liên quan tới phương trình Diophantine không có quytắc giải tổng quát, hoặc nếu có cũng chỉ là đối với các dạng đơn giản. Đócũng là nguyên nhân để lớp phương trình này thu hút sự khám phá nghiêncứu của các nhà Toán học. Trong hầu hết các kỳ thi quan trọng như thihọc sinh giỏi Toán quốc gia, Quốc tế,... các bài toán liên quan đến phươngtrình Diophantine thường xuyên được sử dụng để đánh giá học sinh. Do đó, dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS. Nông Quốc Chinh,tôi đã chọn hướng đề tài luận văn của mình liên quan tới lớp phương trìnhDiopantine này. Cụ thể là nghiên cứu về tính chất nghiệm và mối liên hệcủa phương trình Diophantine dạng Ax2 −By 2 = C với biểu diễn liên phânsố liên tục. 3 Luận văn với tên đề tài Về phương trình Diophantine dạng Ax2 −By 2 =C, với mục đích là trình bày kết quả nghiên cứu của Mollin (2002) [8] đượccông bố trên tạp chí Acta Math. Univ. Comenianae năm 2002. Nội dungluận văn gồm 2 chương. Chương 1 tập trung trình bày một số kiến thứcvề liên phân số, sẽ được dùng để nghiên cứu các kết quả trong chươngsau. Nội dung chương 2 gồm ba phần, cụ thể nghiên cứu về phương trìnhDiophantine dạng x2 − Dy 2 = N và dạng Ax2 − By 2 = C và phần cuối làmột số ví dụ minh họa. Để hoàn thành được luận văn, lời đầu tiên em xin chân thành cảm ơnsự hướng dẫn tỉ mỉ và tận tình của PGS.TS. Nông Quốc Chinh. Em xinbày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy. Trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Đại học Khoa học– Đại học Thái Nguyên tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ vàđộng viên của các thầy cô trong Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo và khoaToán – Tin. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy cô. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường THPT ToànThắng, Tiên Lãng, Hải Phòng và các anh chị em đồng nghiệp đã tạo điềukiện tốt nhất cho tác giả trong thời gian đi học Cao học. Xin cảm ơn các anh chị học viên lớp Cao học Toán K10B1 và bạn bèđồng nghiệp đã trao đổi, động viên và khích lệ tác giả trong quá trình họctập và làm luận văn tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên. Thái Nguyên, ngày 22 tháng 4 năm 2018 Học viên Lương Thị Mai Anh 4Chương 1Một số kiến thức chuẩnbị Trong chương này, chúng tôi tập trung trình bày về liên phân số vàmột số kết quả của nó để áp dụng cho việc nghiên cứu về phương trìnhDiophantine bậc hai, sẽ trình bày trong chương 2.1.1 Liên phân số hữu hạnĐịnh nghĩa 1.1.1. Liên phân số hữu hạn hay phân số liên tục là mộtbiểu thức có dạng 1 a0 + 1 a1 + 1 a2 + · · · + 1 an−1 + antrong đó a0 , a1 , . . . , an là các số thực a1 , . . . , an 6= 0. Một liên phân số nhưvậy được ký hiệu là [a0 ; a1 , . . . , an ]. Từ định nghĩa dễ thấy 1 [a0 ; a1 , . ...