Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về tối ưu trên đa tạp Riemann

Luận văn trình bày một số khái niệm, tính chất của đa tạp và một số khái niệm liên quan. Đồng thời các ví dụ về đa tạp, đường trắc địa, ánh xạ mũ được chúng tôi quan tâm trình bày chi tiết. Mời các bạn tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về tối ưu trên đa tạp Riemann ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG NGỌC THẾVỀ TỐI ƯU TRÊN ĐA TẠP RIEMANN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, 9/2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG NGỌC THẾVỀ TỐI ƯU TRÊN ĐA TẠP RIEMANN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN THANH SƠN Thái Nguyên, 9/2018Mục lụcMở đầu 11 Đa tạp và một số khái niệm liên quan 3 1.1 Khái niệm đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Đa tạp khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Đa tạp con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3 Vectơ tiếp xúc, không gian tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.4 Ánh xạ trên đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.5 Đạo hàm của ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.6 Một số ánh xạ khả vi đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.7 Phân thớ tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.8 Trường vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2 Đa tạp Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.2 Khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.3 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.4 Liên thông affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.5 Liên thông Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.6 Cung trắc địa, ánh xạ mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.7 Toán tử Hessian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 Thuật toán Tìm theo đường thẳng trên đa tạp 26 2.1 Thuật toán Tìm theo đường thẳng trong Rn . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.1 Phương pháp giảm sâu nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.2 Phương pháp Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2 Tìm theo đường thẳng trên đa tạp Riemann tổng quát . . . . . . . . . 29 2.2.1 Phân tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.2 Thuật toán Tìm theo đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.3 Sự hội tụ của thuật toán Tìm theo đường thẳng . . . . . . . . . 34 2.2.4 Tốc độ hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3 Phương pháp Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3.1 Phương pháp Newton trên đa tạp Riemann với hàm mục tiêu giá trị thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3.2 Sự hội tụ địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 Ví dụ về bài toán tối ưu trên mặt cầu 40 3.1 Bài toán K-mean trên mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.1.1 Bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.1.2 Thực hành với MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2 Bài toán điểm trung chuyển hàng không . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2.2 Bài toán điểm trung chuyển hàng không . . . . . . . . . . . . 45 3.2.3 Thực hành với MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.3 Bài toán giá trị riêng dưới góc độ tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.3.1 Bài toán giá trị riêng dưới góc độ tối ưu . . . . . . . . . . . . 51 3.3.2 Thuật toán thương Rayleigh trên mặt cầu . . . . . . . . . . . . 52 3.3.3 Thực hành với MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Kết luận 60Tài liệu tham khảo 61 iPhụ lục ...