Luận văn Thạc sĩ Toán học: Việc biểu diễn một số tự nhiên thành tổng của các số Fibonacci tổng quát

Dãy Fibonacci là dãy vô hạn các số tự nhiên bắt đầu bằng hai phần tử 0 và 1 hoặc 1 và 1, các phần tử sau đó được thiết lập theo quy tắc mỗi phần tử luôn bằng tổng hai phần tử trước nó. Dãy số Fibonacci tuy rất đơn giản về quy tắc thiết lập nhưng là một trong những vẻ đẹp đặc biệt trong kho tàng Toán học. Dãy số Fibonacci vô cùng biến hóa với nhiều tính chất lí thú và ứng dụng quan trọng. Người ta đã tìm thấy rất nhiều vấn đề thú vị liên quan đến dãy số Fibonacci, cả ở toán học thuần túy đến những vấn đề khác trong tự nhiên.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Việc biểu diễn một số tự nhiên thành tổng của các số Fibonacci tổng quát ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ TRĂNGVIỆC BIỂU DIỄN MỘT SỐ TỰ NHIÊN THÀNH TỔNG CỦA CÁC SỐ FIBONACCI TỔNG QUÁT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ TRĂNGVIỆC BIỂU DIỄN MỘT SỐ TỰ NHIÊN THÀNH TỔNG CỦA CÁC SỐ FIBONACCI TỔNG QUÁT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. NÔNG QUỐC CHINH Thái Nguyên - 2017 iMục lụcDanh sách kí hiệu iiMở đầu 1Chương 1. Về dãy số Fibonacci 3 1.1 Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Các tính chất của dãy số Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Về Định lí Zeckendorf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Một số bài toán sơ cấp ứng dụng về dãy số Fibonacci . . . . . . . . . . . 9Chương 2. Biểu diễn một số tự nhiên thành tổng của các số Fibonacci tổng quát 13 2.1 Biểu diễn các số nguyên thành tổng của các số Fibonacci phân biệt . . . . 13 2.2 Biểu diễn một số tự nhiên thành tổng của các số Fibonacci tổng quát . . . 23Kết luận 34Tài liệu tham khảo 35 iiDanh sách kí hiệu {. . .} là dãy số nguyên (. . .) là một vector có các tọa độ nguyên. [. . .] là các ma trận mà phần tử là các số nguyên. V là tập hợp bao gồm các vector có dạng (i1 , i2 , . . . , id ) với d > 1, các thành phần iν là các số nguyên với 1 ≤ i1 ≤ i2 ≤ . . . id . Thông thường ta sẽ viết I thay cho (i1 , i2 , . . . , id ). n k tổ hợp chập k của n M là ma trận [uµ , ν]. m m ∑ bi (tổng hữu hạn) ∑ bi = b1 + b2 + · · · + bm i=1 i=1 ∞ ∞ ∑ bn (chuỗi vô hạn) ∑ bn = b1 + b2 + · · · + bn + · · · n=1 n=1 1Mở đầu Dãy Fibonacci là dãy vô hạn các số tự nhiên bắt đầu bằng hai phần tử 0và 1 hoặc 1 và 1, các phần tử sau đó được thiết lập theo quy tắc mỗi phầntử luôn bằng tổng hai phần tử trước nó. Dãy số Fibonacci tuy rất đơn giảnvề quy tắc thiết lập nhưng là một trong những vẻ đẹp đặc biệt trong khotàng Toán học. Dãy số Fibonacci vô cùng biến hóa với nhiều tính chất líthú và ứng dụng quan trọng. Người ta đã tìm thấy rất nhiều vấn đề thú vịliên quan đến dãy số Fibonacci, cả ở toán học thuần túy đến những vấn đềkhác trong tự nhiên. Dãy Fibonacci được đưa ra bởi nhà toán học Ý tên là Leonardo PisanoBogollo (tên thường gọi là Fibonacci) vào thời gian khoảng năm 1170 đếnnăm 1250. Dãy số Fibonacci bí ẩn và lí thú đến mức, đã có một tạp chítoán học hoàn toàn chỉ đăng các kết quả nghiên cứu có liên quan nó, đó làtạp chí The Fibonacci Quarterly. Mục tiêu của luận văn là nghiên cứu một sự kiện thú vị về dãy Fi-bonacci, đó là việc biểu diễn một số tự nhiên thành tổng của các số Fi-bonacci tổng quát. Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương: • Chương 1. Số Fibonacci. Trong chương này trình bày các định nghĩa và các tính chất cơ bản của các dãy số Fibonacci. Một số bài toán sơ cấp ứng dụng về dãy số Fibonacci 2 • Chương 2. Việc biểu diễn một số tự nhiên thành tổng của các số Fi- bonacci tổng quát. Mở rộng định lí Zeckendorf và biểu diễn số tự nhiên bằng các số Fibinacci phân biệt. Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại họcThái Nguyên và hoàn thành với sự hướng dẫn của PGS.TS. Nông QuốcChinh. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tớingười hướng dẫn khoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu,dành nhiều thời gian hướng dẫn và tận tình giải đáp những thắc mắc củatác giả trong suốt quá trình làm luận văn. Tác giả xin trân trọng cảm ơnBan Giám hiệu Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, BanChủ nhiệm Khoa Toán-Tin, cùng các giảng viên đã tham gia giảng dạy, đãtạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả học tập và hoàn thành khóa học. Thái Nguyên, ngày 10 tháng 11 năm 2017 ...