Luận văn Thạc sĩ Toán học: Xấp xỉ bậc nhất và bậc hai của các tập hợp và các mô tả đối ngẫu tương ứng

Luận văn Thạc sĩ Toán học "Xấp xỉ bậc nhất và bậc hai của các tập hợp và các mô tả đối ngẫu tương ứng" trình bày các nội dung chính sau: Nón tiếp tuyến và nón pháp tuyến; Tập tiếp xúc bậc hai và dưới vi phân bậc hai; Dưới vi phân bậc hai và tập tiếp xúc bậc hai.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Xấp xỉ bậc nhất và bậc hai của các tập hợp và các mô tả đối ngẫu tương ứngVIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC ———————o0o——————– XẤP XỈ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI CỦA CÁC TẬP HỢPVÀ CÁC MÔ TẢ ĐỐI NGẪU TƯƠNG ỨNG LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 Học viên thực hiện: Hoàng Minh Có Lớp: Cao học K19 Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. Nguyễn Đông Yên HÀ NỘI - 2013Mục lục Danh mục ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv1 Nón tiếp tuyến và nón pháp tuyến 1 1.1 Nón tiếp tuyến và đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Nón tiếp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.3 Đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Nón pháp tuyến và đối đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.1 Nón pháp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.2 Dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.3 Đối đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3 Quan hệ giữa nón tiếp tuyến và nón pháp tuyến . . . . . . 172 Tập tiếp xúc bậc hai và dưới vi phân bậc hai 22 2.1 Tập tiếp xúc bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Tập tiếp xúc bậc hai của tập lồi đa diện . . . . . . . . . . . 26 2.3 Tập tiếp xúc bậc hai của tập hợp có biên trơn . . . . . . . . 30 2.3.1 Tập hợp có biên trơn . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.2 Dưới vi phân bậc hai và tập tiếp xúc bậc hai . . . . 32 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 iDanh mục ký hiệu N Tập số nguyên dương R Tập số thực ∅ Tập rỗng Rn Không gian Euclide n chiều kxk Chuẩn của x dist(x, S) Khoảng cách từ x đến S h·, ·i Cặp đối ngẫu hoặc tích vô hướng tk ↓ 0 Dãy số dương tk hội tụ về 0 w xk − →x Dãy véctơ xk hội tụ yếu đến x Ω Bao đóng của Ω T (x; Ω) Nón tiếp tuyến Bouligand-Severi của Ω tại x Tw (x; Ω) Nón tiếp tuyến yếu của Ω tại x TC (x; Ω) Nón tiếp tuyến Clarke của Ω tại x N bε (x; Ω) Nón ε-pháp tuyến của Ω tại x N b (x; Ω) Nón pháp tuyến Fréchet của Ω tại x N (x; Ω) Nón pháp tuyến qua giới hạn của Ω tại x iΩ (·) Hàm chỉ của tập Ω F :X⇒Y Ánh xạ đa trị gph F Đồ thị của F dom F Miền hữu hiệu của F reg F Miền ảnh của F iiDanh mục ký hiệu DFz (·) Đạo hàm contingent của F tại z DFzw (·) Đạo hàm contingent yếu của F tại z CFz (·) Đạo hàm Clarke của F tại z b ∗ Fz (·) D Đối đạo hàm Fréchet của F tại z D∗ Fz (·) Đối đạo hàm Mordukhovich của F tại z ∂f b (x) Dưới vi phân Fréchet của f tại x ∂f (x) Dưới vi phân qua giới hạn của f tại x γ Độ cong của siêu mặt tại một điểm cho trước γ Độ cong trên của siêu mặt tại một điểm cho trước iiiLời mở đầu Trong giải tích cổ điển, đạo hàm của hàm số thực có liên quan chặt chẽđến tiếp tuyến của đồ thị. Dựa vào phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàmsố tại một điểm, người ta có thể xấp xỉ các giá trị của hàm số trong lân cậnđiểm đó. Mặt khác, đồ thị hàm số đã cho chính là đường bao (envelope)của họ các tiếp tuyến nói trên. Như vậy, tiếp tuyến chính là xấp xỉ bậcnhất của đồ thị, và đồ thị có thể được khôi phục thông qua họ các tiếptuyến. Sự mở rộng khái niệm tiếp tuyến sang giải tích đa trị gắn liền với nhucầu mở rộng khái niệm đạo hàm. Năm 1981, J.-P. Aubin (xem [3] và [4])đề nghị xây dựng đạo hàm của một ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y , ở đó Xvà Y là các không gian Banach, tại một điểm z = (x, y), y ∈ F (x), nhưmột ánh xạ đa trị từ X vào Y có đồ thị trùng với hình nón tiếp tuyếnBouligand-Severi của tập đồ thị gph F := {(x, y) ∈ X × Y | y ∈ F (x)}tại z . Để xây dựng khái niệm đạo hàm của ánh xạ đa trị, ngoài nón tiếptuyến Bouligand-Severi người ta (xem [4] và [2]) còn sử dụng khái niệmnón tiếp tuyến do F. H. Clarke đưa ra năm 1973 (xem [7]). Đây là phươngpháp nghiên cứu bằng không gian nền. Song song với sự phát triển lý thuyết vi phân của Clarke, có một lýthuyết vi phân khác dựa trên các khái niệm do B. S. Mordukhovich đã đưara năm 1976, đó là các khái niệm nón pháp tuyến không lồi ([nonconvex]normal cone), đối đạo hàm qua giới hạn (limiting coderivative), dưới viphân không lồi ([nonconvex] subdifferential). Cách tiếp cận bằng khônggian đối ngẫu này đã đưa đến những kết quả mới mẻ và sâu sắc, do đó đãthu hút được sự chú ý ngày càng tăng của các nhà toán học. Trong khoảngnhững năm 1995–1997, B. S. Mordukhovich và các cộng sự đã công bố mộtloạt kết quả quan trọng, đưa ra nhiều ý tưởng và kỹ thuật mới, cho phéphoàn thiện lý thuyết vi phân vô hạn chiều dựa trên các cấu trúc đối ngẫu.Tóm lại, cũng tương tự như vai trò của các khái niệm nón tiếp tuyến trong ivLời mở đầulý thuyết vi phân được xây dựng bằng phương pháp không gian nền, nónpháp tuyến không lồi, được định nghĩa như giới hạn Painlevé-Kurat ...