Luận văn Thạc sĩ Toán ứng dụng: Phương trình vi phân nhám trên mạng neuron

Mục tiêu của luận văn là nhằm tìm hiểu tính giải được của hệ phương trình vi phân trên một mạng neuron dựa trên lý thuyết đường nhám, bài toán tồn tại duy nhất nghiệm, và các tính chất ổn định của nghiệm. Đồng thời luận văn cũng tìm hiểu về tính ổn định của hệ rời rạc nhám.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán ứng dụng: Phương trình vi phân nhám trên mạng neuron BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ Đỗ Minh ThắngPHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NHÁM TRÊN MẠNG NEURON LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN ỨNG DỤNG Hà Nội, Năm 2023 MỤC LỤCMỞ ĐẦU 51 MẠNG NEURON VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRÊN MẠNG NEURON 7 1.1 Mạng neuron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 Mạng neuron hồi quy (reccurent neural network) . . . . . 8 1.1.2 Mạng ODE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Phương trình vi phân trên mạng neuron . . . . . . . . . . . . . . 9 (1) (2) 1.2.1 Hàm học máy fθ , lθ , lθ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2 Lược đồ tương thích chấp nhận-từ chối,[3] . . . . . . . . . 11 1.3 Phương trình vi phân nhám trên mạng neuron . . . . . . . . . . . 112 LÝ THUYẾT ĐƯỜNG NHÁM, CÁC TÍNH CHẤT CỦA ĐẶC TRƯNG CỦA ĐƯỜNG NHÁM 13 2.1 Nhóm luỹ linh tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.1 Động lực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.2 Đặc trưng của đường nhám . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.3 Các tính chất của đặc trưng của đường nhám . . . . . . . 15 2.2 Đại số Lie tN Rd và nhóm Lie 1 + tN Rd . . . . . . . . . . . . 16 2.2.1 Nhóm 1 + tN Rd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.2 Đại số Lie trên tN Rd và ánh xạ mũ . . . . . . . . . . . 17 2.2.3 Cấu trúc giải tích của không gian GN (Rd ) . . . . . . . . . 19 2.3 Đường nhám . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.1 Một số ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.2 Một số khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NHÁM 23 3.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2 Tích phân nhám . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2.1 Trường hợp α ∈ ( 1 , 1): tích phân Young . . . . . . 2 . . . . 24 3.2.2 Trường hợp α ∈ 1 , 2 : . . . . . . . . . . . . . . . 4 1 . . . . 24 3.3 Sự tồn tại duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.4 Hệ rời rạc điều khiển bởi đường nhám . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.4.1 Một số ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.4.2 Thiết lập của hệ rời rạc điều khiển bởi đường nhám . . . . 31 3.4.3 Tính ổn định của hệ rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.5 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3 44 XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NHÁM TRÊN MẠNG NEURON 45 4.1 Xấp xỉ toàn cục của phương trình vi phân nhám . . . . . . . . . . 45 4.2 So sánh với mô hình ODE thay thế . . . . . . . . . . . . . . . . . 49KẾT LUẬN 51TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 5 MỞ ĐẦU1. Lý do chọn đề tàiPhương trình vi phân trên mạng lưới neuron mô tả một hệ vi phân mà ở đócác trường vector được sinh bởi một hàm mạng lưới neuron. Khi đó dưới các dữkiện về thời điểm ban đầu, ta cần giải cho ra kết quả tại một thời điểm T nàođó. Sự khác biệt với phương trình vi phân thường là thay vì trường vector làhàm xác định thì các tham số của trường vector trên mạng lưới vẫn chưa xácđịnh và liên lục được học từ dữ liệu. Nói cách khác, nó có tính chất định hướngdữ liệu.Trong trường hợp dữ liệu đầu vào là các chuỗi thời gian, mục tiêu của các bàitoán mô phỏng là thiết lập được các phương trình được định hướng bởi chuỗi dữliệu đầu vào X. Do đó hệ vi phân này không có dạng của phương trình vi phânthông thường theo vi phân dt, mà là dạng phương trình vi phân theo dX, đượcgiải thông qua sử dụng lý thuyết đường nhám. Đây là một hướng nghiên cứurất thời sự trong khoảng 10 năm trở lại đây, với nhiều kết quả sơ khởi ứng dụngcho các dữ liệu chuỗi thời gian. Với mong muốn tìm hiểu kỹ hơn về lý thuyếtđường nhám và ứng dụng của nó, tôi quyết định chọn đề tài Phương trình viphân nhám trên mạng neuron cho luận văn thạc sĩ của mình.2. Mục đích nghiên cứuMục tiêu của luận văn là nhằm tìm hiểu tính giải được của hệ phương trình viphân trên một mạng neuron dựa trên lý thuyết đường nhám, bài toán tồn tạiduy nhất nghiệm, và các tính chất ổn định của nghiệm. Đồng thời luận văn cũngtìm hiểu về tính ổn định của hệ rời rạc nhám.3. Nội dung nghiên cứu Chương 1 giới thiệu về mạng neuron và phương trình vi p ...