Luận văn Tính chất của môđun Artin

Cho (R;m) là vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực đạiduy nhất m; M là R-môđun hữu hạn sinh và A là R-môđun Artin. Đối vớimỗi R-môđun hữu hạn sinh M, theo Bổ đề Nakayama ta luôn có tính chấtAnnRM=pM = p; với mọi iđêan nguyên tố p chứa AnnRM. Một câu hỏitự nhiên được đặt ra là liệu rằng có một tính chất tương tự như vậy cho mọimôđun Artin trên vành giao hoán bất kỳ hay không....
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Tính chất của môđun Artin Luận vănTính chất của môđun Artin 1 Lêi c¶m ¬n T«i xin tr©n träng c¶m ¬n TS. NguyÔn ThÞ Dung, ngêi thÇy trùc tiÕphíng dÉn vµ tËn t×nh chØ b¶o, gióp ®ì t«i, t¹o mäi ®iÒu kiÖn thuËn lîi chot«i hoµn thµnh luËn v¨n nµy. T«i xin tr©n träng c¶m ¬n GS. TSKH NguyÔn Tù Cêng, GS. TSKH LªTuÊn Hoa, PGS. TS NguyÔn Quèc Th¾ng ë ViÖn To¸n häc Hµ Néi, cïng toµnthÓ Ban Gi¸m hiÖu trêng §¹i häc S ph¹m Th¸i Nguyªn vµ phßng §µo t¹osau §¹i häc, tr©n träng c¶m ¬n PGS. TS Lª Thanh Nhµn cïng c¸c thÇy c«gi¸o khoa To¸n trêng §¹i häc S ph¹m Th¸i Nguyªn ®· tËn t×nh gi¶ng d¹yvµ gióp ®ì t«i trong suèt qu¸ tr×nh häc tËp t¹i trêng vµ thùc hiÖn ®Ò tµi nµy. Cuèi cïng t«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n ®Õn cha mÑ, ngêi th©n, b¹n bÌ, ®ÆcbiÖt lµ chång t«i, ®· lu«n ñng hé, ®éng viªn vµ khuyÕn khÝch t«i hoµn thµnhkÕ ho¹ch häc tËp, còng nh thùc hiÖn thµnh c«ng ®Ò tµi cña m×nh.Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 2 Më ®Çu Cho lµ vµnh giao ho¸n, ®Þa ph¬ng, Noether víi i®ªan cùc ®¹i (R, m)duy nhÊt lµ R-m«®un h÷u h¹n sinh vµ lµ R-m«®un Artin. §èi víi m; M Amçi R-m«®un h÷u h¹n sinh M, theo Bæ ®Ò Nakayama ta lu«n cã tÝnh chÊt víi mäi i®ªan nguyªn tè chøa AnnR M . Mét c©u háiAnnR M/pM = p, ptù nhiªn ®îc ®Æt ra lµ liÖu r»ng cã mét tÝnh chÊt t¬ng tù nh vËy cho mäim«®un Artin trªn vµnh giao ho¸n bÊt kú hay kh«ng. N. T. Cêng vµ L. T.Nhµn [5] ®· chØ ra r»ng nh×n chung c©u tr¶ lêi cho c©u hái trªn lµ phñ ®Þnh,vµ ë ®ã, hä ®· giíi thiÖu mét líp m«®un Artin tho¶ m·n c©u tr¶ lêi kh¼ng®Þnh cña c©u hái trªn nh sau: A ®îc gäi lµ tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗) (hay cßngäi lµ tÝnh chÊt linh ho¸ tö) nÕu AnnR (0 :A p) = p, ∀p ∈ V (AnnR A). (∗)ý nghÜa ®Çu tiªn cña tÝnh chÊt (∗) lµ lµm m¹nh thªm c«ng cô nghiªn cøum«®un Artin b»ng lý thuyÕt chiÒu. Ta ®· biÕt r»ng mét trong nh÷ng c«ng cô®Ó nghiªn cøu m«®un Artin lµ kh¸i niÖm chiÒu Noether ®îc ®a ra bëi R.N. Robert [14] vµ D. Kirby [7]. Bªn c¹nh ®ã, mét c¸ch tù nhiªn, ngêi tacòng dïng kh¸i niÖm dimR A = dim R/ AnnR A ®Ó nghiªn cøu chiÒu Krullm«®un Artin. NÕu lµ vµnh ®Þa ph¬ng ®Çy ®ñ th× ®èi ngÉu Matlis cho ta Rmét t¬ng ®¬ng gi÷a ph¹m trï c¸c m«®un Noether vµ m«®un Artin. V× thÕ,trªn vµnh ®Þa ph¬ng ®Çy ®ñ, tÝnh chÊt (∗) lu«n tho¶ m·n vµ lu«n cã ®¼ng thøcN-dimR A = dimR A, víi mäi R-m«®un Artin A. Tuy nhiªn, trªn vµnh giaoho¸n tuú ý ta chØ cã dimR A, thËm chÝ tån t¹i nh÷ng m«®un N-dimR AArtin sao cho N-dimR A < dimR A (xem [5, VÝ dô 4.1]). Mét vÊn ®Ò ®Æt ralµ t×m ®iÒu kiÖn khi nµo x¶y ra dÊu ®¼ng thøc. KÕt qu¶ chÝnh cña [5, MÖnh ®Ò4.5] chØ ra r»ng nÕu A tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗) th× ta cã N-dimR A = dimR A. KÕt qu¶ tiÕp theo vÒ tÝnh chÊt trong N. T. Cêng, N. T. Dung vµ (∗)Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 3L. T. Nhµn [3] cho phÐp ta nghiªn cøu tÝnh catenary cña tËp gi¸ kh«ngtrén lÉn cña mét m«®un h÷u h¹n sinh M. Gi¶ sö r»ng dimR M = d. KÝhiÖu lµ m«®un con lín nhÊt cña cã chiÒu nhá h¬n d. Ta gäi tËp UM (0) M lµ cña m«®un M. XuÊtUsupp M = Supp(M/UM (0)) gi¸ kh«ng trén lÉnph¸t tõ bµi to¸n nghiªn cøu tÝnh chÊt cho mét líp m«®un Artin ®Æc biÖt (∗) dlµ m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng cÊp cao nhÊt Hm (M ), hä ®· thu ®îc kÕtqu¶ kh¸ bÊt ngê, ®ã lµ gi¸ kh«ng trén lÉn Usupp(M ) lµ catenary khi vµ chØ dkhi Hm (M ) tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗). i Ta ®· biÕt r»ng c¸c m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng Hm (M ) cña m«®unh÷u h¹n sinh M, víi lµ m«®un Artin vµ líp m«®un nµy nh×n chung i 4 cña L. T. Nhµn vµ T.catenaricity of rings and local cohomology modulesN. An ë t¹p chÝ §¹i sè n¨m 2008 vµ mét phÇn bµi b¸o cña N. T. Cêng, N.T. Dung vµ L. T. Nhµn Top local cohomology and the catenaricity of the trªn t¹p chÝ Communicationunmixed support of a finitely generated modulein Algebra n¨m 2007. LuËn v¨n ®îc chia lµm hai ch¬ng. Ch¬ng I dµnh ®Ó hÖ thèng l¹i mét sèkiÕn thøc vÒ m«®un Artin, biÓu diÔn thø cÊp, chiÒu Noether, vµnh catenary,vµnh thí,... Ch¬ng II giíi thiÖu vÒ tÝnh chÊt (tÝnh chÊt linh ho¸ tö) cña (∗)m«®un Artin vµ chøng minh ®Æc trng tÝnh catenary cña tËp gi¸ kh«ng trénlÉn th«ng qua tÝnh chÊt (∗) cña m«®un ®èi ® ...