Luận văn: Về một phương pháp không cổ điển giải số phương trình vi phân bậc nhất và bậc hai

Phương trình vi phân là mô hình mô tả khá tốt các quá trình chuyển động trong tự nhiên và kĩ thuật. Để nghiên cứu phương trình vi phân, người ta thường tiếp cận theo hai hướng: nghiên cứu định tính và giải số. Mặc dù đã có lịch sử phát triển hàng trăm năm, do còn nhiều bài toán cần giải quyết, giải số phương trình vi phân thường vẫn thu hút sự quan tâm mạnh mẽ của các nhà toán học và các nhà nghiên cứu ứng dụng. Trong giải số phương trình vi phân, người ta thường...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn:Về một phương pháp không cổ điển giải số phương trình vi phân bậc nhất và bậc haiBÁO CÁO TỐT NGHIỆPVề một phương pháp không cổ điển giải sốphương trình vi phân bậc nhất và bậc hai 1 LỜI NÓI ĐẦU Phương trình vi phân là mô hình mô tả khá tốt các quá trình chuyển độngtrong tự nhiên và kĩ thuật. Để nghiên cứu phương trình vi phân, người ta thườngtiếp cận theo hai hư ớng: nghiên cứu định tính và giải số. Mặc dù đã có lịch sử phát triển h àng trăm năm, do còn nhiều bài toán cần giảiquyết, giải số phương trình vi phân thường vẫn thu hút sự quan tâm m ạnh mẽ củacác nhà toán học và các nhà nghiên cứu ứng dụng. Trong giải số phương trình vi phân, người ta thường cố gắng tìm ra nhữngphương pháp hữu hiệu bảo đảm sự hội tụ, tính ổn định và tính chính xác cao. Đểlàm được điều n ày, người ta thường tổ hợp các phương pháp đa bước để nhận đượccác phương pháp mới có bậc hội tụ, tính ổn định và cấp chính xác cao h ơn. Phươngpháp không cổ điển giải số phương trình vi phân thường bậc nhất và bậc hai do M.V. Bulatov (và Berghe) đề xuất trong vòng năm năm trở lại đây nằm trong hướngn ày. Lu ận văn Về một phương pháp không cổ điển giải số phương trình vi phân bậcnhất và bậc hai có mục đích trình bày các phương pháp của Bulatov và Berghe theocác tài liệu [4] (2009) và [9]-[11] (2003 -2008). Lu ận văn gồm ba Chương. Chương 1 trình bày một số khái niệm và phương pháp cơ bản giải số phươngtrình vi phân. Trong mục 1.2 của Chương, chúng tôi trình bày các phương pháp sốcổ điển theo một quan điểm nhất quán là xuất phát từ Quy tắc cầu phương cơ bản. Chương 2 trình bày phương pháp không cổ điển (do Bulatov đề xuất vàonhững năm 2003-2008) giải số hệ phương trình vi phân bậc nhất, phi tuyến và tuyếntính, theo các tài liệu [9]-[11]. Chương 3 trình bày phương pháp không cổ điển giải số hệ phương trình viphân bậc hai, tuyến tính và phi tuyến, theo bài báo của M. V. Bulatov và G. V.Berghe ([4], 2009). 2 Thông qua việc tính toán đạo h àm, phân tích các hàm nhiều biến vào chuỗiTaylor và các phép biến đổi chi tiết, chúng tôi cố gắng trình bày các kết quả của M.V. Bulatov và G. V. Berghe một cách rõ ràng và chi tiết nhất. Để minh họa và kiểm chứng lý thuyết, chúng tôi đã lập trình trên MATLAB vàtính toán trên máy các ví dụ của M. V. Bulatov và G. V. Berghe. Lu ận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS-TS Tạ DuyPhượng (Viện Toán học). Xin được tỏ lòng cám ơn chân thành nhất tới Thầy. Tác giả xin tỏ lòng cám ơn Ban Chủ nhiệm , các Thày Cô và các cán bộ khoaToán- Cơ – Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nộiđ ã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học Cao học. Tác giả xin chân thành cám ơn Ban Lãnh đạo và các cán bộ, giáo viên Họcviện Quân y đã tạo mọi điều kiện để tác giả hoàn thành tốt khóa học Cao học. Và cuối cùng, xin được cám ơn Gia đình, b ạn b è đã thông cảm, sẻ chia, hysinh và tạo mọi điều kiện cho tác giả trong suốt thời gian học Cao học và viết luậnvăn. Hà Nội, ngày 30 tháng 11 năm 2009 Tác giả Vũ Thị Thanh Bình 3CHƯƠNG 1Kiến thức chuẩn bịTrong Chương 1 chúng tôi nh ắc lại những khái niệm cơ bản nhất của giải sốphương trình vi phân nh ằm thuận tiện cho trình bày ở các mục sau .1.1. Bài toán Cauchy giải hệ phương trình vi phânXét bài toán Cauchy tìm nghiệm của hệ phương trình t   0,1 (1.1) x(t )  f ( x(t ), t ),thỏa mãn đ iều kiện ban đầu x (0)  x0 , (1.2)trong đó f  x, t  , x  t  là các hàm vectơ n - chiều , h àm f xác định trên hình hộp vôh ạn D : 0, 1 R n .Ở đây ta hiểu nghiệm theo nghĩa cổ điển và địa phương, tức là nghiệm của (1.1)-(1.2) là một hàm khả vi x (t ) trên  0,   ,   1 sao cho x(t )  f ( x(t ), t ) trên  0,   vàx(0)  x0 .Cùng với bài toán (1.1), ta cũng xét trường hợp hàm f ( x, t ) là tuyến tính, tức là f ( x, t )  B(t ) x  g (t ) , trong đó B(t ) là ma trận cấp n  n , còn g (t ) là vectơ n -chiều,tức là hệ tuyến tính t   0,1 . (1.3) x(t )  B (t ) x  g (t ),Ta luôn giả thiết rằng các phần tử của ma trận B(t ) , của các vectơ f  x, t  , g (t ) làđủ trơn (có đ ạo hàm đến cấp cần thiết trong tính toán). Khi ấy theo đ ịnh lí Picard-Lindelöf, hệ (1.1)-(1.2) có duy nh ất nghiệm x(t ) trên toàn đoạn  0,1 (nghiệm cóth ể kéo d ài được trên toàn bộ khoảng xác định, hay tồn tại nghiệm toàn cục, xem[8], tran g 467). Lưu ý n ày là quan trọng trong giải số hệ ph ương trình (1.1)-(1.2). 41.2. Giải số bài toán CauchyĐể chứng minh định lý về sự tồn tại và duy nh ất nghiệm của hệ phương trình viphân (1.1)-(1.2), ta có thể xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ hội tụ tới nghiệm của b àitoán (1.1)-(1.2) trên khoảng tồn tại nghiệm. Có hai phương pháp xây dựng dãyn ghiệm xấp xỉ: ph ương pháp giải tích và phương pháp số kết quả đư ợc cho d ướid ạng bảng, như phương pháp Euler, phương pháp Runge-Kutta, phương pháp đabước,...Dưới đây trình bày cách xây dựng các công thức Euler, Runge-Kutta,... xu ất phát từqui tắc cầu phương cơ bản (xem, thí dụ, [2]).1 .2.1 . Quy tắc cầu phương cơ bản và giải số phương trình vi phânQuy tắc cầu phương cơ bản (basic quadrature rules) ...