Luận văn: VỀ NHÓM CON CỦA NHÓM SO(3)

Nhóm các phép quay SO(3) xuất hiện nhiều trong các lĩnh vực khácnhau của toán học do đó nó là một đối tượng kinh điển đã được nghiên cứubởi nhiều nhà toán học. Đối tượng được trình bày trong luận văn là nhómcon của nhóm SO(3) sinh bởi hai phép quay có bậc hữu hạn quanh các trụcvuông góc.Nhóm các phép quay này được quan tâm nghiên cứu do nó có ứng dụngtrong lí thuyết Tilings, một lí thuyết nghiên cứu quá trình phủ không gianbằng các bản copy của một số hữu hạn các hình đa diện cho trước....
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn: VỀ NHÓM CON CỦA NHÓM SO(3) ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐỖ VIỆT HÙNG VỀ NHÓM CON CỦA NHÓM SO(3) Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. VŨ THẾ KHÔI THÁI NGUYÊN - 2008S ố hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc -tnu.edu.vn Lêi nãi ®Çu Nhãm c¸c phÐp quay SO(3) xuÊt hiÖn nhiÒu trong c¸c lÜnh vùc kh¸cnhau cña to¸n häc do ®ã nã lµ mét ®èi tîng kinh ®iÓn ®· ®îc nghiªn cøubëi nhiÒu nhµ to¸n häc. §èi tîng ®îc tr×nh bµy trong luËn v¨n lµ nhãmcon cña nhãm SO(3) sinh bëi hai phÐp quay cã bËc h÷u h¹n quanh c¸c trôcvu«ng gãc. Nhãm c¸c phÐp quay nµy ®îc quan t©m nghiªn cøu do nã cã øng dôngtrong lÝ thuyÕt Tilings, mét lÝ thuyÕt nghiªn cøu qu¸ tr×nh phñ kh«ng gianb»ng c¸c b¶n copy cña mét sè h÷u h¹n c¸c h×nh ®a diÖn cho tríc. Tuy nhiªntrong khu«n khæ cña mét luËn v¨n Cao häc, chóng t«i chØ tËp trung t×m hiÓukÕt qu¶ ®¹i sè thuÇn tuý mµ kh«ng tr×nh bµy ®îc lÝ thuyÕt Tilings. Bµi to¸n ®¹i sè nghiªn cøu trong luËn v¨n lµ t×m hiÓu cÊu tróc ®¹i sè cñac¸c nhãm con G(p, q ) sinh bëi hai phÐp quay quanh hai trôc vu«ng gãc víic¸c gãc quay lÇn lît lµ 2π/p vµ 2π/q . Chóng ta nghiªn cøu nhãm con nµyvíi chó ý lµ ta ®· cã mét sè kÕt qu¶ bíc ®Çu nh sau: NÕu p hoÆc q b»ng 1,G(p, q ) lµ nhãm Cyclic h÷u h¹n; nÕu p hoÆc q b»ng 2, G(p, q ) lµ nhãm nhÞdiÖn h÷u h¹n; G(4, 4) lµ nhãm ®èi xøng cña c¸c h×nh lËp ph¬ng; cßn tÊtc¶ c¸c trêng hîp kh¸c G(p, q ) lµ trï mËt trong SO(3). LuËn v¨n ®îc tr×nhbµy theo bµi b¸o [4] cña hai t¸c gi¶ C.radin vµ L.Sadun (n¨m 1998). KÕt qu¶chÝnh ®Çu tiªn cña luËn v¨n chÝnh lµ ®Þnh lÝ cÊu tróc (§Þnh lÝ 2.1.2), chØ rar»ng nhãm G(p, q ) ®¼ng cÊu víi tÝch tù do vµ tÝch tù do víi nhãm con chungcña c¸c nhãm ®¬n gi¶n lµ nhãm cyclic hay nhãm nhÞ diÖn. KÕt qu¶ tiÕp theolµ ®Þnh lÝ vÒ d¹ng chuÈn t¾c cña c¸c phÇn tö nãi r»ng mäi phÇn tö cña nhãmG(p, q ) ®Òu cã thÓ biÓu diÔn mét c¸ch duy nhÊt díi d¹ng tÝch cña mét sèphÇn tö cã d¹ng cô thÓ (Xem ®Þnh lÝ 2.2.1 vµ 2.2.6). Ngoµi ra trong phÇncuèi luËn v¨n cßn nghiªn cøu mét vÝ dô vÒ nhãm con cña nhãm SO(3) sinhbëi hai phÐp quay víi c¸c gãc quay lµ tÝch cña 2π víi mét sè v« tØ hay siªuviÖt. B»ng c¸ch sö dông kÜ thuËt nh phÇn ®Çu, luËn v¨n chøng minh ®îcmét sè trêng hîp nhãm trong vÝ dô lµ ®¼ng cÊu víi nhãm tù do sinh bëi hai 4phÇn tö. LuËn v¨n gåm 3 ch¬ng. Ch¬ng 1 dµnh ®Ó giíi thiÖu c¸c kh¸i niÖm, c¸c tÝnh chÊt ®Æc trng vµc¸c vÝ dô minh häa vÒ phÐp quay vµ ma trËn phÐp quay; nhãm tù do; tÝch tùdo; tÝch tù do víi nhãm con chung nh»m phôc vô cho ch¬ng sau. Ch¬ng 2 lµ ch¬ng tr×nh bµy nh÷ng néi dung chÝnh cña luËn v¨n gåmhai phÇn. PhÇn 1 tr×nh bµy biÓu diÔn cho nhãm G(p, q ). PhÇn 2 tr×nh bµyd¹ng chÝnh t¾c cho mçi phÇn tö cña nhãm G(p, q ). Ch¬ng 3 tr×nh bµy thªm mét vÝ dô nghiªn cøu vÒ nhãm c¸c phÐp quayG(v, 4) trong ®ã cã gãc quay v lµ mét sè v« tØ cho tríc nh©n víi 2π . Sau ®ã G(ω, 4) víi eωi (t¬ng ®¬ngtr×nh bµy vÝ dô nghiªn cøu bíc ®Çu vÒ nhãmcos(ω )) lµ siªu viÖt. LuËn v¨n ®îc hoµn thµnh víi sù híng dÉn tËn t×nh cña ThÇy Ts. VòThÕ Kh«i. T«i xin bµy tá sù kÝnh träng vµ lßng biÕt ¬n s©u s¾c tíi ThÇy. T«i xin tr©n träng c¸m ¬n ban l·nh ®¹o khoa to¸n §HSP Th¸i Nguyªn,khoa sau ®¹i häc §HSP Th¸i Nguyªn, c¸m ¬n c¸c thÇy c« gi¸o ®· trang bÞcho t«i kiÕn thøc c¬ së. T«i xin tr©n träng c¸m ¬n ban gi¸m hiÖu vµ c¸c b¹n ®ång nghiÖp trêngTHPT chuyªn Hµ Giang, xin trËn träng c¸m ¬n nh÷ng ngêi th©n, b¹n bÌ vµlíp cao häc to¸n K14 ®· ®éng viªn gióp ®ì t«i trong qua tr×nh hoµn thµnhluËn v¨n. 5Ch¬ng 1KiÕn thøc chuÈn bÞLuËn v¨n cÇn mét sè ®Þnh nghÜa vµ kÕt qu¶ sau1.1 PhÐp quay vµ ma trËn phÐp quayPhÐp quay nãi chung lµ mét phÇn tö cña nhãm SO(3). Sau ®©y ta ®Þnh nghÜaphÐp quay quanh c¸c trôc Ox, Oy, Oz cña hÖ trôc täa ®é Oxyz trong kh«nggian 3 chiÒu víi gãc quay ϕ. PhÐp quay quanh trôc Ox víi gãc quay ϕ trong kh«ng1.1.1 §Þnh nghÜa.gian 3 chiÒu víi hÖ trôc to¹ ®é ®Ò c¸c vu«ng gãc Oxyz lµ mét phÇn tö cñanhãm SO(3) cã ma trËn t¬ng øng lµ   1 0 0 0 cosϕ sinϕ . 0 −sinϕ cosϕ ϕKÝ hiÖu Rx hay   1 0 0 ϕ Rx = 0 cosϕ sinϕ . 0 −sinϕ cosϕ ϕ ϕ Ta còng ®Þnh nghÜa t¬ng tù c¸c phÐp quay Ry , Rz t¬ng øng quanh trôcOy, Oz víi c¸c ma trËn t¬ng øng lÇn lît lµ    cosϕ 0 sinϕ cosϕ sinϕ 0 1 0  vµ −sinϕ cosϕ 0 . 0 −sinϕ 0 cosϕ 0 01 6 VÒ ma trËn cña ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh cã thÓ xem thªm [2]. PhÇn tiÕp theotr×nh bµy lý thuyÕt nhãm tù do, biÓu diÔn cho nhãm, tÝch tù do, tÝch tù dovíi nhãm con chung theo [3].1.2 Nhãm tù do Mét tËp con S cña nhãm F ®îc gäi lµ cña c¬ së tù do1.2.1 §Þnh nghÜa.F nÕu mäi hµm ϕ : S −→ G tõ mét tËp S ®Õn nhãm G ®Òu cã thÓ më réngduy nhÊt thµnh mét ®ång cÊu ϕ : F −→ G sao cho ϕ(s) = ϕ(s), ∀s ∈ S vµta cã s¬ ®å ...