Luận văn: XÂY DỰNG ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH VỚI MỘT TẬP VÔ HẠN SỐ KHUYẾT

Lý thuyết Nevanlinna ra đời vào những năm đầu của thế kỷ 20 và đãnhận được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới. Lý thuyếtNevanlinna cổ điển nghiên cứu sự phân bố giá trị của hàm phân hình f thôngqua hàm đặc trưng T(f; a; r) - hàm đo cấp tăng của hàm phân hình, hàm đếmN(f; a; r) - đếm số lần hàm f nhận giá trị a trong đĩa bán kính r, và hàmxấp xỉ m(f; a; r) - đo độ gần đến a của hàm f (xem Định nghĩa 1.1.3, 1.1.1,và 1.1.2)....
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn: XÂY DỰNG ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH VỚI MỘT TẬP VÔ HẠN SỐ KHUYẾT ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐỖ THỊ HỒNG NGAXÂY DỰNG ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH VỚI MỘT TẬP VÔ HẠN SỐ KHUYẾT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2008 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐỖ THỊ HỒNG NGAXÂY DỰNG ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH VỚI MỘT TẬP VÔ HẠN SỐ KHUYẾT Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. TẠ THỊ HOÀI AN THÁI NGUYÊN – 2008Môc lôc Môc lôc ................................ 1 Lêi më ®Çu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 KiÕn thøc chuÈn bÞ 5 1.1 C¸c hµm Nevanlinna cho hµm ph©n h×nh. . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Quan hÖ sè khuyÕt cho hµm ph©n h×nh . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 C¸c hµm Nevanlinna cho ®êng cong chØnh h×nh. . . . . . . . 172 §êng cong chØnh h×nh víi v« sè gi¸ trÞ khuyÕt 20 2.1 C¸c kÕt qu¶ bæ trî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 C¸c vÝ dô vÒ ®êng cong chØnh h×nh víi v« sè gi¸ trÞ khuyÕt. . 31 KÕt luËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Tµi liÖu tham kh¶o 42 1Lêi më ®Çu Lý thuyÕt Nevanlinna ra ®êi vµo nh÷ng n¨m ®Çu cña thÕ kû 20 vµ ®·nhËn ®îc sù quan t©m cña nhiÒu nhµ to¸n häc trªn thÕ giíi. Lý thuyÕt fNevanlinna cæ ®iÓn nghiªn cøu sù ph©n bè gi¸ trÞ cña hµm ph©n h×nh th«ng T (f, a, r) - hµm ®o cÊp t¨ng cña hµm ph©n h×nh, hµm ®Õmqua hµm ®Æc trngN (f, a, r) - ®Õm sè lÇn hµm f nhËn gi¸ trÞ a trong ®Üa b¸n kÝnh r, vµ hµmxÊp xØ m(f, a, r ) - ®o ®é gÇn ®Õn a cña hµm f (xem §Þnh nghÜa 1.1.3, 1.1.1,vµ 1.1.2). Träng t©m cña lý thuyÕt nµy lµ hai ®Þnh lý c¬ b¶n. §Þnh lý c¬ b¶n a ∈ C ∪ {∞}.thø nhÊt thÓ hiÖn sù ®éc lËp cña hµm ®Æc trng víi mäi gi¸ trÞ§Þnh lý c¬ b¶n thø hai nãi r»ng víi hÇu hÕt c¸c gi¸ trÞ a, hµm ®Õm N (f, a, r )tréi h¬n h¼n hµm xÊp xØ m(f, a, r ). §iÒu nµy dÉn ®Õn ®Þnh nghÜa sè khuyÕtcña hµm f t¹i gi¸ trÞ a nh sau N (f, a, r) δ (f, a) := lim inf {1 − }. T (f, a, r) r→∞ a f δ (f, a) > 0.Gi¸ trÞ ®îc gäi lµ cho hµm nÕu Quan hÖ sè gi¸ trÞ khuyÕtkhuyÕt lµ mét d¹ng ph¸t biÓu kh¸c cña §Þnh lý c¬ b¶n thø hai cña Nevanlinna,cô thÓ lµ Nevanlinna ®· chøng minh r»ng δ (f, a) 2. a∈C∪{∞}MÆt kh¸c, §Þnh lý c¬ b¶n thø nhÊt cho ta thÊy r»ng sè khuyÕt cña hµm ph©n [0, 1]. H¬n n÷a ngêi ta ®· chøngh×nh t¹i mét gi¸ trÞ nµo ®ã n»m trong ®o¹nminh ®îc r»ng tËp c¸c gi¸ trÞ khuyÕt lµ ®Õm ®îc. Nh vËy mét c©u hái tù 1 ≤ i ≤ N ≤ ∞, {δi }nhiªn ®îc ®Æt ra lµ: Cho gi¶ sö lµ d·y c¸c sè thùckh«ng ©m sao cho 0 < δi ≤ 1, δi ≤ 2. i 2 3 ai , lµ c¸c sè ph©n biÖt trong C ∪ {∞}. Tån t¹i hay kh«ng hµm ph©nGi¶ söh×nh f trªn C tháa m·n δ (f, ai ) = δi , vµ δ (f, a) = 0 cho mäi a ∈ {ai }? / C©u hái trªn cßn ®îc biÕt nh lµ bµi to¸n ngîc cña Nevanlinna. §· cã nhiÒu nhµ to¸n häc nghiªn cøu bµi to¸n ngîc cña Nevanlinna, côthÓ Nevanlinna [9], Lª V¨n Thiªm [11], Hayman [4],... ®· gi¶i quyÕt bµi to¸nnµy cho mét sè trêng hîp ®Æc biÖt. §Õn n¨m 1976 vÊn ®Ò trªn ®· ®îc gi¶iquyÕt trän vÑn bëi D. Drasin trong [3]. Trong c«ng tr×nh nµy, Drasin kh«ngchØ xÐt bµi to¸n ngîc cña Nevanlinna cho sè khuyÕt mµ cßn cho sè khuyÕtrÏ nh¸nh. VËy, bµi to¸n vÒ sù tån t¹i cña hµm ph©n h×nh víi h÷u h¹n hay v«h¹n gi¸ trÞ khuyÕt ®· ®îc nghiªn cøu kh¸ trän vÑn. Nh ta ®· biÕt hµm ph©n h×nh cã thÓ ®îc xem lµ ®êng cong chØnh 1h×nh tõ C vµo P (C). Do ®ã, viÖc më réng lý th ...