Luận văn: Xây dựng không gian LP cho đại số toán tử

F I Tập số (thực hay phức). Ánh xạ đồng nhất. bên ngoài một tập compact. Lp(X) Không gian các hàm khả tích cấp p trên X. H B(H) Không gian Hilbert. Không gian các toán tử tuyến tính bị chặn trong H.Cc(X) Không gian các hàm liên tục trên X triệt tiêui.Mục lụcBảng ký hiệu Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm mở đầu . . . . . . . 1.2 Biểu diễn các phiếm hàm tuyến tính . 1.3 Sự thác triển của toán tử . . . . . . ....
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn:Xây dựng không gian LP cho đại số toán tử BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG……………………Xây dựng không gian LP cho đại số toán tửBảng ký hiệu Tập số (thực hay phức).FI Ánh xạ đồng nhất.Cc(X ) Không gian các hàm liên tục trên X triệt tiêu bên ngoài một tập compact.Lp(X ) Không gian các hàm khả tích cấp p trên X. Không gian Hilbert.H Không gian các toán tử tuyến tính bị chặn trong H.B (H ) iMục lụcBảng ký hiệu iMở đầu iii1 Kiến thức chuẩn bị 1 1.1 Một số khái niệm mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Biểu diễn các phiếm hàm tuyến tính . . . . . . . . . . . 2 1.3 Sự thác triển của toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4.1 Định nghĩa tích trong . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4.2 Hàm thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.3 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . 9 1.4.4 Định nghĩa không gian Hilbert . . . . . . . . . . . 10 1.5 Toán tử trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . 10 1.5.1 Toán tử liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5.2 Toán tử chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5.3 Toán tử dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5.4 Phép chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5.5 Toán tử chéo hóa được . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5.6 Toán tử unitar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5.7 Phép đẳng cự một phần . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5.8 Phép phân tích cực . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.6 Các khái niệm hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Xây dựng không gian Lp cho lớp các toán tử compact 21 2.1 Đại số Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Toán tử compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.1 Khái niệm lớp toán tử compact . . . . . . . . . . 23 ii 2.2.2 Tính chất của toán tử compact . . . . . . . . . . 25 2.2.3 Toán tử hạng một . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.4 Đại số Calkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.5 Toán tử Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3 Vết . ............................. 30 2.3.1 Định nghĩa vết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3.2 Lớp toán tử vết và lớp toán tử Hilbert-Schmidt . 32 2.3.3 Một dạng cụ thể của lớp toán tử Hilbert-Schmidt 38 2.3.4 Tích phân của toán tử compact . . . . . . . . . . 423 Xây dựng không gian Lp cho đại số von Neumann với vết chuẩn tắc chính xác nửa hữu hạn 43 3.1 Đại số von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2 Hàm vết trên đại số von Neumann . . . . . . . . . . . . 46 3.3 Sự hội tụ theo độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.4 Tích phân theo vết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.4.1 Xây dựng tích phân theo vết . . . . . . . . . . . . 57Kết luận 61Tài liệu tham khảo 62 iiiMở đầu Trong luận văn này, chúng tôi trình bày về xây dựng các không gianL , 1 ≤ p < ∞, cho một số lớp các đại số toán tử trên không gian Hilbert pphức H . Dựa trên quan điểm của lí thuyết độ đo trên không gian tô pôcompact địa phương X , coi tích phân là các phiếm hàm tuyến tính dươngtrên không gian Cc (X ) các hàm liên tục trên X , triệt tiêu bên ngoài mộttập compact. Tích phân này chính là phần tử thuộc không gian đối ngẫucủa Cc (X ). Từ đó định nghĩa không gian L1 các hàm khả tích là các hàmcó tích phân hữu hạn và không gian các hàm lũy thừa p khả tích Lp .Cách xây dựng trên được áp dụng cho lớp các toán tử compact B0 (H )như là sự mở rộng của Cc (X ), cho trường hợp đại số của ...