Luật mạnh số lớn đối với dãy biến ngẫu nhiên độc lập có kì vọng vô hạn

Luật mạnh số lớn là một trong những định lí giới hạn quan trọng được sử dụng trong nhiều lĩnh vực như thống kê, lí thuyết xác suất và các lĩnh vực kinh tế, bảo hiểm. Bài viết sẽ thiết lập luật mạnh số lớn đối với dãy biến ngẫu nhiên độc lập (không nhất thiết có cùng phân bố xác suất) có kì vọng vô hạn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luật mạnh số lớn đối với dãy biến ngẫu nhiên độc lập có kì vọng vô hạnUED Journal of Social Sciences, Humanities & Education – ISSN 1859 - 4603 TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC LUẬT MẠNH SỐ LỚN ĐỐI VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP Nhận bài: CÓ KÌ VỌNG VÔ HẠN 18 – 03 – 2017 Lê Văn Dũnga, Nguyễn Thị Hải Yếnb* Chấp nhận đăng: 28 – 06 – 2017 http://jshe.ued.udn.vn/ Tóm tắt: Luật mạnh số lớn là một trong những định lí giới hạn quan trọng được sử dụng trong nhiều lĩnh vực như thống kê, lí thuyết xác suất và các lĩnh vực kinh tế, bảo hiểm. Chẳng hạn trong thống kê, luật mạnh số lớn được sử dụng để ước lượng cỡ mẫu, giá trị trung bình và phương sai của biến ngẫu nhiên,... Luật mạnh số lớn đối với dãy biến ngẫu nhiên độc lập có kì vọng hữu hạn đã được nhiều tác giả trên thế giới quan tâm nghiên cứu. Đối với dãy biến ngẫu nhiên độc lập có kì vọng vô hạn, Nakata [2] đã đưa ra một số kết quả nghiên cứu mới về luật yếu số lớn, còn luận mạnh số lớn chưa được nghiên cứu. Trong bài báo này chúng tôi sẽ thiết lập luật mạnh số lớn đối với dãy biến ngẫu nhiên độc lập có kì vọng vô hạn. Từ khóa: luật mạnh số lớn; biến ngẫu nhiên; độc lập; kì vọng vô hạn; định lí giới hạn. 2.1. Cơ sở lí thuyết1. Giới thiệu 2.1.1. Định nghĩa [1, tr.202] Đối với dãy biến ngẫu nhiên ( X n ; n  1) độc lập Dãy biến ngẫu nhiên ( X n ; n  1) hội tụ hầu chắcvà có cùng phân bố xác suất, nếu có kì vọng hữu hạn thìluật mạnh số lớn chỉ ra rằng trung bình mẫu chắn (h.c.c) đến biến ngẫu nhiên X khi n →  nếu: X1 + X 2 + ... + X n P({   : lim X n ( ) = X ( )}) = 1. (1) X= n → n Để chứng minh các kết quả về hội tụ hầu chắc chắnsẽ hội tụ hầu chắc chắn về trung bình tổng thể E ( X 1 ) ta thường sử dụng định lí sau.khi n → . Trong trường hợp kì vọng vô hạn, kết quả 2.1.2. Định lí [1, tr.206]trên sẽ không còn đúng nữa. Điều kiện cần và đủ để dãy biến ngẫu nhiên Trong bài báo này chúng tôi sẽ thiết lập luật mạnh ( X n ; n  1) hội tụ h.c.c đến biến ngẫu nhiên X là vớisố lớn đối với dãy biến ngẫu nhiên độc lập (không nhất mọi   0,thiết có cùng phân bố xác suất) có kì vọng vô hạn. Trong bài báo này chúng tôi giả thiết các biến ngẫu lim P(sup | X k − X |  )) = 0. (2) n→ k nnhiên xác định trên không gian xác suất (, F , P) với 2.1.3. Định lí [1, tr.150]P là độ đo đủ. Cho ( X n ; n  1) là dãy biến ngẫu nhiên độc lập,2. Cơ sở lí thuyết và một số kí hiệu có kì vọng 0 và phương sai hữu hạn. Khi đó tồn tại hằng số dương C không phụ thuộc vào n sao cho:  n 2  n E   Xk   C  E ( X k2 ).aTrường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng* Liên hệ tác giả  k =1 Nguyễn Thị Hải YếnEmail: nthyen_kt@ued.udn.vn   k =1 Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 7, số 2 (2017), 1-4 | 1Lê Văn Dũng, Nguyễn Thị Hải Yến2.1.4. Định nghĩa [3, tr.132-133] E ( X 2 I{| X | x} ) © x 2− với 0    1 (6) Cho dãy biến ngẫu nhiên ( X n ; n  1). Đặt Để thuận tiện cho việc trình bày chứng minh, ở đây nSn =  X k . Ta nói dãy biến ngẫu nhiên tuân theo luật ta sử dụng hằng số C không nhất thiết giống nhau trong k =1 mỗi lần xuất hiện.mạnh số lớn nếu tồn tại dãy số thực (an ; n  1) và dãy số 3. Kết quảdương (bn ; n  1) tăng ngặt ra vô hạn ( bn   ) sao cho: Định lí 3.1. Sn − an 0    1 , cho { X n ; n  1} là dãy biến ngẫu lim = 0 h.c.c. (3) Cho n → bn nhiên độc lập thỏa mãn điều kiện ...