Luật số lớn trong xác suất thống kê - 1

Luật số lớn1. Các khái niệm và mối quan hệ giữa các loại hội tụ cơ bản Định nghĩa 1.1. Dãy biến ngẫu nhiên (Xn, n 1) được gọi là hội tụ theo xác suất tới biến ngẫu nhiên X khi n , ký hiệu , nếu với mọi 0 tuỳ ý(1) Định nghĩa 1.2. Dãy biến ngẫu nhiên (Xn, n 1) được gọi là hội tụ hầu chắc chắn tới biến ngẫu nhiên X khi n , ký hiệu nếu P[w: (2)] = 1.Vậy (2) trở thành P(A) = 1. Từ đó, tiêu chuẩn hội tụ...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luật số lớn trong xác suất thống kê - 1 Luật số lớn1. Các khái niệm và mối quan hệ giữa các loại hội tụ cơ bảnĐịnh nghĩa 1.1. Dãy biến ngẫu nhiên (Xn, n > 1) được gọi là hội tụ theo xác suấttới biến ngẫu nhiên X khi n , ký hiệu , nếu với mọi > 0 tuỳ ý (1)Định nghĩa 1.2. Dãy biến ngẫu nhiên (Xn, n > 1) được gọi là hội tụ hầu chắc chắntới biến ngẫu nhiên X khi n , ký hiệu nếu P[w: ] = 1. (2)Nhận xét: Đặt thì[w: ]= =AVậy (2) trở thành P(A) = 1. Từ đó, tiêu chuẩn hội tụ hầu chắc chắn có thể phátbiểu như sau:Dãy biến ngẫu nhiên (Xn, n > 1) hội tụ hầu chắc chắn tới X khi n khi và chỉkhi với > 0 tuỳ ý, =0 (3)hay 0 khi n .So sánh giữa hai loại hội tụ , từ nhận xét trên ta cóĐịnh lý 1.3. Nếu thì khi n .Lưu ý rằng khẳng định ngược lại nói chung không đúng. Thật vậyVí dụ 1.4. Cho (Xn) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phốiVới mọi 0< < 1 ta có .Như vậy, Mặt khác,Điều này có nghĩa dãy (Xn) không hội tụ h.c.c.Ta có kết quả sau:Định lí 1.5. . Nếu dãy biến ngẫu nhiên (Xn, n > 1) là đơn điệu tăng (giảm) và khi n thì khi n .Chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết X 0; Xn > 0; Xn và khi n .Giả sử (Xn) không hội tụ hầu chắc chắn đến X. Điều đó có nghĩa là tồn tại >0và tập A với P(A) > với Î A và với mọi n. Vì (Xn) là > 0 sao chodãy giảm khi n tăng nên = Xn. Vậy P[Xn > ] > P(A) > > 0 với mọi n.Điều này mâu thuẫn với giả thiết .Định lí được chứng minh.Định lí 1.6. khi và chỉ khi , nghĩa là khi nvới > 0 cho trước thì 0 khi n . (4)Chứng minh. Có khi và chỉ khi khi n .Hơn nữa, dãy là đơn điệu giảm và tiến tới 0 theo xác suất khi n .Theo Định lí 1.5 ta nhận được . Định lí được khi nchứng minh.Định lí 1.7. Nếu với mọi < > 0 thì khi n .Chứng minh.Ta có < .Theo giả thiết nên phần dư < 0khi n .Vậy , nghĩa là 0 khi n khi n .Hệ quả 1.8. Nếu thì tồn tại dãy con {nk} sao cho khi n .Chứng minh. Vì nên ta có thể chọn được dãy nk đểSuy ra < 0 cho trước tuỳ ý (5)Định lí 2.2 (Định lí Trêbưsép)Nếu dãy biến ngẫu nhiên X1, X2,..., Xn độc lập và có phương sai bị chặn bởi cùngmội hằng số C, nghĩa là DX1 < C, DX2 < C,..., DXn < C, thì dãy (Xn) tuân theoluật yếu số lớn.Để có thể chứng minh được định lý trên, ta cần bất đẳng thức quan trọng sauBất đẳng thức 2.3. (bất đẳng thức Trêbưsép)Giả sử biến ngẫu nhiên X có kì vọng E(X) và phương sai D(X) hữu hạn. Khi đóChứng minh. Với A Î đặt .VìW = [w : < ] È [w: > ]nênTa có E(X - E(X))2 =Từ đó suy raChứng minh Định lý 2.2. áp dụng định lí Trêbưsép cho đại lượng ta có:với >0 0 khin .do X1,…, Xn là độc lập và DXi < c; i = 1, 2,…, n.Định lí được chứng minh.Hệ quả 2.4. Nếu X1, X2,..., Xn là dãy biến ngẫu nhiên độc lập, có EXk = a và DXk< C với mọi k = 1,2, .., n thì .Hệ quả 2.5. Gọi k là số lần biến cố A xuất hiện trong dãy n phép thử Bernoulli.Giả sử xác suất để biến cố A xuất hiện trong mỗi phép thử l à p. Khi đókhi n .Chứng minh. Đặt , k = 1, 2,…, nTa có k = X1 + X2 + … + Xn. Do X1, X2,…, Xn độc lập ...