Luật số lớn trong xác suất thống kê - 2

b- Nếu (An) là dãy các biến cố độc lập và Chứng minh. a.Theo giả thiết P(A ) = 0.nên số hạng dư khi n. Vậyb- Ta có. Để chứng minh P(A ) = 1 ta cần chứng minhhay ta phải chứng minh P() = 0 với mọi n. Với N n ta có P() 0 cho trước (6)Chứng minh. Đặt;, k = 1, 2,…, n và Rõ ràng A0, A1,…, Ak là xung khắc từng đôi, trong đó 2,…, n.Ta có, k = 1,vàVì E(Sn/Ak) = 0 nênTheo giả thiết Ak độc lập với các, j ...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luật số lớn trong xác suất thống kê - 2b- Nếu (An) là dãy các biến cố độc lập và =+ thì 1Chứng minh.a- Ta cóSuy raTheo giả thiết nên số hạng dư . Vậy 0 khi nP(A ) = 0. . Để chứng minh P(A ) = 1 ta cần chứng minhb- Ta có hay ta phải chứng minh P( ) = 0 với mọi n. Với N > n ta cóP( ) < P( )= =vì 1 - x < e-x với mọi 0 < x < 1. Do =+ ta suy ra ) khi . Vậy . Do đó , nghĩa là P(A )N 0 khi N= 1. Bổ đề được chứng minh.Định lí 3.3. (Bất đẳng thức Côn môgôrốp)Giả sử X1, X2,..., Xn là dãy biến ngẫu nhiên độc lập. Khi đó, với > 0 cho trướctuỳ ý ta có (6)Chứng minh. Đặt ; , k = 1, 2,…, n vàRõ ràng A0, A1,…, Ak là xung khắc từng đôi, trong đó , k = 1,2,…, n.Ta có vàVì E(Sn/Ak) = 0 nênTheo giả thiết Ak độc lập với các , j > k.Vì vậy với j > k với h ¹ j, h, j > k > 1 và với k > 1Tóm lại .Từ đó suy raĐịnh lí 3.4. (Định lí Côn môgôrốp 1)Nếu X1, X2,..., Xn là dãy biến ngẫu nhiên độc lập thoả mãn điều kiện (7)thì dãy X1, X2,..., Xn tuân theo luật số lớn.Chứng minh . Đặt . Xét xác suất vàTheo bất đẳng thức Cônmôgôrốp ta có:VậyĐổi thứ tự lấy tổng ta cóDo các số hạng ở vế phải của bất đẳng thức trên có thể ước lượng bởi ,trong đó p là số sao cho 2p < j < 2p + 1.Vậy ,hay chuỗi hội tụ. Từ đó suy ra Pm . Theo Định lí 1.6 ta có 0 khi m . Định lí được chứng minh.Hệ quả 3.5. Gọi mA là số lần xuất hiện biến cố A trong dãy n phép thử Bernoullivà p là xác suất để biến cố A xuất hiện trong mỗi phép thử. Khi đóHệ quả 3.6. Nếu dãy biến ngẫu nhiên X1, X2,..., Xn độc lập và có cùng phân phối và phương sai DX1 =...DXn = s2 hữu hạn thìvới kì vọngVí dụ 3.7. Cho X1, X2,..., Xn là dãy biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng phân phốixác suất:Xk -1 0 1Pa. Chứng minh rằng khi n .b. X1, X2,........, Xn có tuân theo luật mạnh số lớn không? Tại sao?Giải. a. Ta cóTheo Hệ quả 2.1 thì khi n .b. Do X1, X2,..., Xn độc lập, có cùng phân phối với EXk = 0 và DXk = với mọi k=1, .., n. Theo Hệ quả 3.6 ta cóVậy X1,…, Xn tuân theo luật mạnh số lớn.Ví dụ 3.8. Cho X1, X2,..., Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng hàm mật độ:a. Chứng minh rằng khi n .b. Dãy X1, X2,..., Xn có tuân theo luật mạnh số lớn không ? Tại sao?Giải. Với mọi k = 1, 2,.., n thìĐặt . Từ đó ÞEX k =Tương tự,Vậya. Do dãy X1,…,Xn độc lập có EX1 = … = EXn = và phương sai DX1 = … = 2DX n =Theo Hệ quả 2.1 ta có: khi n .b. Ta có .Theo Định lí 3.4, dãy X1,…,Xn tuân theo luật số lớn.