Lượng giác - 5.Phương trình hàm lượng giác

Tham khảo sách lượng giác - 5.phương trình hàm lượng giác, tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Lượng giác - 5.Phương trình hàm lượng giácChöôn g Phöông 1: trìnhhaø m löôïnggiaùc PHẦN II: LƯỢNG GIÁC ỨNG DỤNG GIẢI TOÁN GIẢI TÍCH ------------------------------------------- CHƯƠNG 1 : PHƯƠNG TRÌNH HÀM LƯỢNG GIÁCI. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ: a. Đặc trưng hàm của hàm lượng giác:-Hàm f ( x ) = sin x có tính chất f ( 3x ) = 3 f ( x ) − 4 f 3 ( x ) , ∀x ∈ ¡ Quy ước: f 3 ( x ) =  f ( x )  3  -Hàm f ( x ) = co s x có tính chất f ( 2 x ) = 2 f 2 ( x ) − 1, ∀x ∈ ¡ và f ( x + y ) + f ( x − y ) = 2 f ( x ) f ( y ) ; ∀x, y ∈ ¡-Cặp hàm f ( x ) = sin x, g ( x ) = cos x có tính chất  f ( x + y ) = f ( x ) .g ( x ) + f ( y ) g ( x ) ; ∀x, y ∈ ¡    g ( x + y ) = g ( x ) g ( y ) − f ( x ) f ( y ) ; ∀x, y ∈ ¡ -Hàm f ( x ) = tgx có tính chất f ( x) + f ( y) f ( x + y) = 1 − f ( x) . f ( y ) ( 2k + 1) π π π + k π ; y ≠ + kπVới x, y , x + y ≠ (k ∈ ¢ ) , x ≠ 2 2 2-Hàm f ( x ) = cot gx có tính chất f ( x) . f ( y ) −1 f ( x + y) = f ( x) + f ( y)Với x, y , x + y ≠ kπ , ( k ∈ ¢ ) , x ≠ k π ; y ≠ kπ b. Đặc trưng hàm của hàm lượng giác ngược:-Hàm f ( x ) = arcsin x có tính chất ( ) f ( x ) + f ( y ) = f x 1 − y 2 + y 1 − x 2 ; ∀x, y ∈ [ −1;1]-Hàm g ( x ) = arccos x có tính chất ( ) g ( x ) + g ( y ) = g xy − 1 − x 2 . 1 − y 2 ; ∀x, y ∈ [ −1;1]-Hàm h ( x ) = arctgx có tính chất  x+ y  h ( x) + h ( y ) = h   ; ∀x, y, xy ≠ 1  1 − xy  Naê m hoïc2006 2007 – 62Chöôn g Phöông 1: trìnhhaø m löôïnggiaùc-Hàm p ( x ) = arc cot g có tính chất  xy − 1  p ( x) + p ( y) = p   ; ∀x, y , x + y ≠ 0  x+ y  c.Phương trình hàm Cauchy:Phương trình này cũng như cách chứng minh nó sẽ được sử dụng rất nhiều trong phầnnày. *Phát biểu: Nếu hàm f(x) liên tục trên tập số thực và thỏa: f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) ; ∀x, y ∈ ¡ ( 1) thì f ( x ) = ax , với a ∈ ¡ tùy ý. *Chứng minh:Từ (1) suy ra f ( 0 ) = 0, f ( − x ) = − f ( x )Và với y = x thì f ( 2 x ) = 2 f ( x ) , ∀x ∈ ¡ ( 2 )Giả sử với k nguyên dương, f ( kx ) = kf ( x ) , ∀x ∈ ¡Khi đó: f ( ( k + 1) x ) = f ( kx + x ) , ∀x ∈ ¡ , ∀k ∈ ¥Từ đó theo nguyên lí quy nạp, ta có: f ( nx ) = nf ( x ) , ∀x ∈ ¡ ( 3)Ta kết hợp tính chất f ( − x ) = − f ( x ) thu được: f ( mx ) = mf ( x ) , ∀m ∈ ¢ , ∀x ∈ ¡Từ (2) ta có:  x  x   x  f ( x ) = 2 f   = 22 f 2  = ... = 2 n f n 2 2  2 Từ đó suy ra:  x  1 f n  = n f ( x ) , ∀n ∈ ¢ , ∀x ∈ ¡ ( 4 ) 2  2Kết hợp (3) và (4) m  m  = n . f ( 1) , ∀m ∈ ¢ , n ∈ ¥ + f n 2  2Sử dụng giả thiết liên tục của hàm f(x) ⇒ f ( x ) = ax, ∀x ∈ ¡ , a = f ( 1)Thử lại, ta thấy hàm f(x) =ax thỏa (1). Suy ra đpcm.Tiếp đến ta sẽ xét các bài tóan liên quan đến phương pháp này. Naê m hoïc2006 2007 – 63Chuyeân ñeà Löôïng giaùcvaø Ù n g Ö duïngII.Các bài toán chọn lọc: 1Bài 1: Xác định α , β để hàm số f ( x ) = có tính chất f ( a ) , f ( b ) , f ( c ) là độ dài các αx + β cạnh của một tam giác ứng với mọi tam giác ABC cho trước. Lời giải:Không mất tính tổng quát, ta luôn luôn giả thiết a ≥ b ≥ c 1Nhận xét rằng, phép nghịch đảo g ( x ) = không có tính chất g ( a ) , g ( b ) , g ( c ) Là độ dài xcác cạnh của một tam giác ứng với mọi tam giác ABC. Thật vậy, xét tam giác cân vớia = b = 2, c = 1 thì ta có 1 1 1 + = a b cĐể f ( a ) , f ( b ) , f ( c ) là độ dài các cạnh của một tam giác, trước hết phải có f ( a ) > 0, f ( b ) > 0, f ( c ) > 0, ∀VABCSuy ra α a + β > 0, α b + β > 0, α c + β > 0, ∀VABC (3)Từ (3) ta thu được α ≥ 0 .Thật vậy,nếu α < 0, β tùy ý cho trước thì ta chọn tam giác ABCcó độ dài cạnh a đủ lớn, theo tính chất về dấu của nhị thức bậc nhất sẽ nhận đượcαa + β < 0Tương tự, cũng từ (3) ta suy ra β ≥ 0 .Thật vậy, nếu β < 0 ta chọn tam giác ABCCó độ dài cạnh a đủ nhỏ thì theo tính chất về dấu của nhị thức bậc nhất sẽ nhận đượcαa + β < 0Trường hợp khi đồng thời xảy ra α = 0, β = 0 f ( x ) không xác định. Với α = 0, β > 0 ta thuđược hàm hằng dương nên f ( a ) = f ( b ) = ...