Lượng giác - 6.Lượng giác và các bài toán dãy số

Tham khảo sách lượng giác - 6.lượng giác và các bài toán dãy số, tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Lượng giác - 6.Lượng giác và các bài toán dãy sốChuyeân ñeà Löôïng giaùcvaø Ù n g Ö duïng CHƯƠNG 2 : LƯỢNG GIÁC VÀ CÁC BÀI TÓAN DÃY SỐI. MỞ ĐẦU: Lượng giác đóng vai trò quan trọng trong tóan dãy số: không những là một dạngtóan khó mà còn là một phương pháp giải. Phương pháp mà chúng ta sẽ đề cập trong phầnnày chính là phương pháp lượng giác hóa các bài tóan. Tuy vậy, khác với các phần tóan dãysố trước, phương pháp này không hề có cơ sở hay định lý rõ ràng nào, mà cần nhiều sựkhéo léo cũng như tất cả kiến thức giải tích và lượng giác. Do vậy, thông qua từng bàitóan, chúng ta sẽ tìm được lối đi riêng cho bản thân.II. CÁC BÀI TÓAN CHỌN LỌC:Bài 1: ( Tổng quát của bài 3, Olympic 30/4/2005 ). Cho hai dãy {an},{bn} như sau: a < b cho trước a+b a1 = ; b1 = a.a1 2 a1 + b1 a2 = ; b2 = a2 .b1 2 ... an −1 + bn −1 an = ; bn = an .bn −1 2 a.Tìm lim bn n →∞ b.Tìm lim an n →∞Nhận xét: Bài tóan đã giấu đi tính lượng giác rất khéo. Ta hãy quan sát thật kĩ, do a< b nên ta a acó thể đặt cos α = hoặc sin α = . Vậy nên chọn là sin hay cos? b b Ta thử đặt: a a + b b ( sin α + 1) - Nếu sin α = : a1 = = b 2 2 b2 b1 = a1 .b = 2 ( ( sin α + 1) .sin α ) Ta sẽ không thể giải tiếp. Vậy ta sẽ không đặt với sin. a b ( cos α + 1) α - Nếu cos α = : a1 = = b cos 2 b 2 2 α α b1 = b 2 cos 2 = b cos ! Vậy ta tiến hành giải. 2 2 Giải: Nho ù m hoïcsinhlôùp11A1 85Chöôn g Löôïng 2: giaùcvaø caùc baøitoaùn daõy soá a πa.Đặt cos α = 0 < α <  b 2  α  a1 = b cos 2  2 Ta có  b = b cos α 1  2  a1 + b1  2α α α 2 α  a2 = 2 = b  cos 2 + cos 2  = b cos 2 cos 22    ⇔ b = a b = b 2 cos 2 α cos 2 α = b cos α cos 2 α  2  2 1 2 22 2 22 Bằng quy nạp ta dễ dàng có:  α  b.sin α cos n . α α α 2  an = b.cos ...cos n −1 .cos n = 2  2 2 2 α  2n.sin n  2  α α 2 α b.sin α . bn = b.cos ...cos n −1 .cos n =  2 2 2 α 2n.sin n   2 α b n b sin α Vậy: bn = = 2 . α α α 2n.sin n sin n 2 2 b sin α ⇒ lim bn = n →∞ α αb.Ta cũng có: an = bn .cos 2n b sin α α b sin α lim an = .lim cos n = n →∞ α n→∞ 2 α Chú ý: Với a=2005, b=2006 ta sẽ có bài 3 Olympic 30/4/2005.Bài 2: ( Kỳ thi quốc gia lần XXXI-1993 ) Cho a0 = 2,b0 = 1. Lập hai dãy số{an},{bn}với n = 0, 1, 2, ... theo quy tắc sau: 2an .bn an +1 = ; b = an +1 .bn an + bn n +1 Chứng minh rằng các dãy {an},{bn} có cùng một giới hạn khi n → ∞ . Tìm giới hạnđó.Nhận xét: Dễ thấy dãy {an} là dãy trung bình điều hòa, {bn} là dãy tựa trung bình nhân. Để chứng minh hai dãy cùng giới hạn thì nhất thiết phải tìm công thức tổng quát. Naê m h ...