Luyện thi Đại học môn Toán: Phương pháp đổi biến số tìm nguyên hàm (Phần 2) - Thầy Đặng Việt Hùng

Tài liệu "Luyện thi Đại học môn Toán: Phương pháp đổi biến số tìm nguyên hàm (Phần 2) - Thầy Đặng Việt Hùng" tóm lược nội dung cần thiết và cung cấp các bài tập ví dụ hữu ích, giúp các bạn củng cố và nắm kiến thức về phương pháp đổi biến số tìm nguyên hàm thật hiệu quả.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luyện thi Đại học môn Toán: Phương pháp đổi biến số tìm nguyên hàm (Phần 2) - Thầy Đặng Việt HùngKhóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 03. PP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM – P2 Thầy Đặng Việt HùngDạng 2. PP lượng giác hóa dx = d (a sin t ) = a cos t dt Nếu hàm f(x) có chứa a 2 − x 2 thì đặt x = a sin t  → 2  a − x = a − a sin t = a cos t 2 2 2 2  adt dx = d (a tan t ) = cos 2 t Nếu hàm f(x) có chứa a 2 + x 2 thì đặt x = a tan t  →  a 2 + x 2 = a 2 + a 2 tan 2 t = a  cos t MỘT SỐ VÍ DỤ MẪU:Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: dxa) I1 = ∫ ; ( a = 2) b) I 2 = ∫ 1 − x 2 dx ; ( a = 1) 4− x 2 x 2 dxc) I 3 = ∫ ; ( a = 1) d) I 4 = x 2 9 − x 2 dx ; ( a = 3) ∫ 1− x 2 Lời giải:  dx = d (2sin t ) = 2cos t dt dx 2cos t dta) Đặt x = 2sin t  →  → I1 = ∫ =∫ = ∫ dt = t + C  4 − x = 4 − 4sin t = 2cos t 4− x 2 2 2 2cos t x  xTừ phép đặt x = 2sin t ⇔ t = arcsin    → I1 = arcsin   + C  2 2 dx = d (sin t ) = cos t dtb) Đặt x = sin t  →  1 − x = 1 − sin t = cos t 2 2 1 + cos 2t 1 1 t 1 ∫ ∫Khi đó I 2 = 1 − x 2 dx = cos t.cos t dt = ∫ 2 dt = 2 dt + ∫ 2 ∫ cos 2t dt = + sin 2t + C 2 4 cos t = 1 − sin 2 t = 1 − x 2Từ x = sin t ⇒   → sin 2t = 2sin t.cos t = 2 x 1 − x 2 t = arcsin x arcsin x 1  → I2 = + x 1 − x2 + C 2 2 dx = d (sin t ) = cos t dtc) Đặt x = sin t  →  1 − x = 1 − sin t = cos t 2 2 x 2 dx sin 2 t.cos t dt 1 − cos2t 1 1Khi đó, I 3 = ∫ =∫ = ∫ sin 2 t dt = ∫ dt = t − sin 2t + C 1 − x2 cos t 2 2 4 cos t = 1 − sin 2 t = 1 − x 2Từ x = sin t ⇒   → sin 2t = 2sin t.cos t = 2 x 1 − x 2 t = arcsin x arcsin x 1 → I3 = − x 1 − x2 + C 2 2  dx = d (3sin t ) = 3cos t dtd) Đặt x = 3sin t  →  9 − x = 9 − 9sin t = 3cos t 2 2 81 ...