Luyện thi ĐH môn Toán 2015: Bài toán tìm điểm trên đồ thị - Thầy Đặng Việt Hùng

Tài liệu luyện thi ĐH môn Toán 2015 về "Bài toán tìm điểm trên đồ thị" cung cấp kiến thức lý thuyết, 1 số bài tập ví dụ và bài tập tự luyện. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu sau để ôn tập và chuẩn bị cho kỳ thi Đại học 2015 cũng như các kỳ thi Đại học sau này.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luyện thi ĐH môn Toán 2015: Bài toán tìm điểm trên đồ thị - Thầy Đặng Việt HùngKhóa h c LT H môn Toán 2015 – Th yNG VI T HÙNGFacebook: LyHung95BÀI TOÁN TÌMTh y Ki n th c cơ b n: 1) Kho ng cách gi a hai i m A, B: AB = 2) Kho ng cách t c bi t: i m M ( x 0 ; y0 )I M TRÊNng Vi t HùngTH( x B − x A )2 + ( yB − y A )2 ax 0 + by0 + c a2 + b2n ư ng th ng ∆: ax + by + c = 0 : d ( M , d ) =+ N u ∆: x = a thì d ( M , ∆) = x0 − a + N u ∆: y = b thì d ( M , ∆) = y0 − b + T ng các kho ng cách t M n các tr c to là: x0 + y0 .2 1 1 AB. AC.sin A = AB2 . AC 2 − ( AB. AC ) 2 2  x + x = 2 xI i x ng nhau qua i m I ⇔ IA + IB = 0 ⇔  A B  y A + yB = 2 yI3) Di n tích tam giác ABC: S = 4) Các i m A, B 5) Các i m A, B c bi t: i x ng nhau qua ư ng th ng ∆ ⇔  AB ⊥ ∆ (I là trung i m AB). I ∈ ∆A i x ng nhau qua tr c Ox ⇔  B  yB = − y A A i x ng nhau qua tr c Ox ⇔  B yB = − y A + A, B + A, Bx = x x = x6) Kho ng cách gi a ư ng th ng ∆ v i ư ng cong (C) b ng kho ng cách nh nh t gi a m t i m M ∈ ∆ và m t i m N ∈ (C). 7) i m M ( x; y) ư c g i là có to nguyên n u x, y u là s nguyên. Ví d 1: [ VH]. Cho hàm s y = − x 3 + 3 x + 2 (C). Tìm 2 i m trên th hàm s sao cho chúng i x ng nhau qua tâm M(–1; 3). Hư ng d n gi i: G i A ( x0 ; y0 ) , B là i m i x ng v i A qua i m M (−1;3) ⇒ B ( −2 − x0 ;6 − y0 ) y = − x 3 + 3x + 2  0 0 A, B ∈ (C ) ⇔  0 3 6 − y0 = −(−2 − x 0 ) + 3(−2 − x0 ) + 2 3 2 ⇔ 6 = − x 0 + 3 x0 + 2 − ( −2 − x0 ) + 3 ( −2 − x0 ) + 2 ⇔ 6 x 0 + 12 x0 + 6 = 0 ⇔ x0 = −1 ⇒ y0 = 0 3V y 2 i m c n tìm là: (−1; 0) và (−1;6) Ví d 2: [ VH]. Cho hàm s Tìm trêny=− x3 11 + x 2 + 3x − . 3 3th (C) hai i m phân bi t M, Ni x ng nhau qua tr c tung. Hư ng d n gi i: x2 = − x1 ≠ 0   y1 = y2 Hai i m M ( x1; y1 ), N ( x2 ; y2 ) ∈ (C )i x ng nhau qua Oy ⇔  x2 = − x1 ≠ 0  x1 = 3  x1 = −3   3 ⇔  x3 2  1 x2 11 11 ⇔  x = −3 ho c  x = 3 3  2  2    − + x1 + 3 x1 − = − + x2 + 3 x 2 − 3 3 3  3Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán 2015 t i Moon.vnt i m s cao nh t trong kỳ TS H 2015!Khóa h c LT H môn Toán 2015 – Th yNG VI T HÙNG 16   16   , N  −3;  . 3  3 Facebook: LyHung95V y hai i m thu cth (C) vài x ng qua Oy là: M  3;Ví d 3: [ VH]. Cho hàm s y = − x 3 + 3 x + 2 (C). Tìm trên (C) hai i m i x ng nhau qua ư ng th ng d: 2 x − y + 2 = 0 . Hư ng d n gi i: G i M ( x1; y1 ) ; N ( x2 ; y2 ) thu c (C) là hai i m i x ng qua ư ng th ng d I là trung i m c a AB nên I  x1 + x2 y1 + y2  ;  , ta có I ∈ d 2   23 3 − x1 + 3 x1 + 2 + − x2 + 3 x2 + 2 y1 + y2 x +x Ta có = = 2. 1 2 + 2 2 2 2 x + x = 0 3 ⇒ − ( x1 + x2 ) + 3 x1 x2 ( x1 + x2 ) + 3 ( x1 + x2 ) = 2 ( x1 + x2 ) ⇒  1 2 2 2  x1 − x1x2 + x2 = 1 () ()M t khác: MN ⊥ d ⇒ ( x2 − x1 ) .1 + ( y2 − y1 ) .2 = 02 2 2 2 ⇒ 7 ( x2 − x1 ) − 2 ( x2 − x1 ) x1 + x1 x2 + x2 = 0 ⇒ x1 + x1 x2 + x2 =()7 27 7 ; x2 = 2 2  2 9 2 2  2  x + x2 = 4  x1 − x1x2 + x2 = 1  1 - Xét  2 ⇒ vô nghi m 7⇔ 2  x1 + x1 x2 + x2 = x x = 5  2  1 2 4 - Xét x1 + x2 = 0 ⇒ x1 = ±V y 2 i m c n tìm là:  7 1 7  7 1 7 ;2 −  ;  − ;2 +   2   2 2  2 2 2   1 3 5 3Ví d 4: [ VH]. Cho hàm s y = x 3 + x 2 − 3 x + . G i A, B là các giao i m c a (C) v i tr c Ox. Ch ng minh r ng trên o n AB dư i m t góc vuông. Hư ng d n gi i: PT hoành giao i m c a (C) v i tr c hoành:  1 3 5 3th (C) t n t i hai i m cùng nhìn1 3 5 x = 1 x + x 2 − 3x + = 0 ⇔  3 3  x = −5⇒ A(−5;0), B(1;0) . G i M  a; a3 + a2 − 3a +  ∈ (C ), M ≠ A, B ⇒ AM =  a + 5; a3 + a2 − 3a +  , BM =  a − 1; a3 + a2 − 3a + 1 AM ⊥ BM ⇔ AM .BM = 0 ⇔ (a + 5)(a − 1) + (a + 5)2 (a − 1)4 = 0 9 1 ⇔ 1 + (a − 1)3 (a + 5) = 0 ⇔ a4 + 2a3 − 12a2 + 14a + 4 = 0 (*) 9  1 3 5 3   1 3 5 3t y = a4 + 2a3 − 12a2 + 14a + 4 = 0 , có t p xácnh D = R.7 2043 y′ = 4a3 + 6a2 − 12a + 14 ; y′ = 0 có 1 nghi m th c a0 ≈ − ⇒ y0 ≈ − 2 16D a vào BBT ta suy ra (*) luôn có 2 nghi m khác 1 và –5. V y luôn t n t i 2 i m thu c (C) cùng nhìn o n AB dư i m t góc vuông. Ví d 5: [ VH]. Cho hàm s y = x 4 − 2 x 2 + 1 . Tìm to hai i m P, Q thu c (C) sao cho ư ng th ng PQ song song v i tr c hoành và kho ng cách t i m c c i c a (C) n ư ng th ng PQ b ng 8.Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán 2015 t i Moon.vn t i m s cao nh t trong kỳ TS H 2015!Khóa h c LT H môn Toán 2015 – Th yNG VI T HÙNGFacebook: LyHung95Hư ng d n gi i: i m c c i c a (C) là A(0;1) . PT ư ng th ng PQ có d ng: y = m (m ≥ 0) . Vì d ( A, PQ) = 8 nên m = 9 . Khi ó hoành các i m P, Q là nghi m c a phương trình:x 4 − 2 x 2 − 8 = 0 ⇔ x = ±2 . V y: P(−2;9), Q(2;9) ho c P(2;9), Q(−2;9) .Ví d 6: [ VH]. Cho hàm s y = x 4 + mx 2 − m − 1 (Cm). Ch ng minh r ng khi m thay i thì (Cm) luôn luôn i qua hai i m c t i A và B vuông góc v i nhau. Hư ng d n gi i: Hai i m c nh A(1; 0), B(–1; 0). Ta có: y′ = 4 x 3 + 2mx .nh A, B. Tìm mcác ti p tuy n3 5 Cá ...