Lý thuyết dao động - Chương 1

Dao động tuyến tính của hệ một bậc tự do Đ1.1. Dao động tự do của hệ tuyến tính một bậc tự do 1.1.1. Dao động tự do không cản Xét hệ một bậc tự do, lực tác dụng lên hệ có thế. Toạ độ suy rộng xác định vị trí cơ hệ lμ q. Ph−ơng trình Lagrăng II có dạng:
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Lý thuyết dao động - Chương 1 Ch−¬ng I Dao ®éng tuyÕn tÝnh cña hÖ mét bËc tù do §1.1. Dao ®éng tù do cña hÖ tuyÕn tÝnh mét bËc tù do 1.1.1. Dao ®éng tù do kh«ng c¶n XÐt hÖ mét bËc tù do, lùc t¸c dông lªn hÖ cã thÕ. To¹ ®é suy réng x¸c ®Þnh vÞ trÝ c¬ hÖlµ q. Ph−¬ng tr×nh Lagr¨ng II cã d¹ng: d ⎛ ∂T ⎞ ∂T ∂π ⎜ ⎟ ⎜ • ⎟ − ∂q = − ∂q dt ⎜ ∂ q ⎟ ⎝ ⎠ 1 •2 1 Víi dao ®éng nhá th×: T = a q ; π = cq 2 : Thay vµo ph−¬ng tr×nh trªn vµ rót gän, 2 2 •• q+ k 2q = 0ta ®−îc: (1-1) c Trong ®ã: k = gäi lµ tÇn sè vßng (riªng) cña dao ®éng, ®¬n vÞ th−êng dïng rad/s, anã phô thuéc vµo tÝnh chÊt cña hÖ (khèi l−îng vµ ®é cøng). Ph−¬ng tr×nh (1-1) lµ ph−¬ng tr×nh vi ph©n m« t¶ dao ®éng nhá tù do cña hÖ tuyÕn tÝnhmét bËc tù do. NTQ cña (1-1) t×m ®−îc ë d¹ng: q = C1coskt + C2sinkt (1-2) §Æt: C1 = Asinα; C2 = Acosα Ta viÕt ®−îc nghiÖm (1-2) d−íi d¹ng biªn ®é: q = Asin(kt +α) (1-3) ë ®©y: A = C1 + C 2 lµ biªn ®é dao ®éng; (kt +α) lµ pha dao ®éng; α lµ pha ban ®Çu; 2 2k lµ tÇn sè vßng (tÇn sè dao ®éng riªng) cña hÖ. 2π a Chu kú dao ®éng T tÝnh theo c«ng thøc: T = = 2π (1-4) k c Gäi f lµ sè dao ®éng trong mét ®¬n vÞ thêi gian (tÇn sè dao ®éng), khi ®ã: 1 1 k c f= = = (1-5) T 2π 2π a C¸c h»ng sè A vµ α ®−îc x¸c ®Þnh tõ c¸c ®iÒu kiÖn ban ®Çu. Gi¶ sö t¹i t = 0: q(0) = q0 •2 • • q0 kq 0vµ q (0) = q 0 ta nhËn ®−îc: A = q 0 + 2 vµ α = arctg . Do ®ã: • 2 k q0 14 ⎛ ⎞ 2 ⎜ kq 0 ⎟ q0 2 q= + ⋅ sin ⎜ kt + arctg • ⎟ (1-6) q0 k2 ⎜ q0 ⎟ ⎝ ⎠ Nh− vËy, dao ®éng nhá tù do cña hÖ tuyÕn tÝnh mét bËc tù do lµ dao ®éng ®iÒu hoµ. Trong thùc tÕ, viÖc x¸c ®Þnh tÇn sè riªng k lµ nhiÖm vô quan träng cña bµi to¸n nghiªncøu dao ®éng tù do. B¶ng 2 thèng kª mét sè c«ng thøc ®èi víi k cña mét sè hÖ ®¬n gi¶n. B©y giê ta biÓu diÔn nghiÖm cña bµi to¸n trªn mÆt ph¼ng pha (hÖ täa ®é dÞch chuyÓn -vËn tèc). T¹i mçi thêi ®iÓm tr¹ng th¸i cña hÖ ®−îc ®Æc tr−ng b»ng dÞch chuyÓn q vµ vËn tèc •v = q . Ta cã trong tr−êng hîp kh¶o s¸t: ⎧q = A sin( kt + α) ⎪ ⎨ (1-7) • ⎪v = q = Ak cos(kt + α) ⎩ TËp hîp c¸c ph−¬ng tr×nh nµy cã thÓ kh¶o s¸t nh− quü ®¹o pha cho ë d¹ng th«ng sè.§Ó nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh quü ®¹o pha cÇn khö t tõ hÖ (1-7) ta ®−îc: q2 v2 + 2 2 =1 (1-8) A2 A k NghÜa lµ ph−¬ng tr×nh EllÝp (H×nh 11a). §iÓm biÓu diÔn ban ®Çu (tõ ®ã chuyÓn ®éng ...