Lý thuyết dao động - Chương 2

Dao động tuyến tính của hệ nhiều bậc tự do Đ.2.1. Phương pháp chung thiết lập phương trình vi phân chuyển động 2.1.1. Hệ nhiều bậc tự do. Thực tế các hệ cần tính toán dao động phần lớn là các hệ đàn hồi phức tạp, như: dầm, thanh có tiết diện không đổi hoặc thay đổi, các trục thẳng có gắn các đĩa, các trục khuỷu của động cơ đốt trong, các cánh và đĩa tuốc bin v.v... Để xác định đầy đủ biến dạng của hệ sinh ra do dao động, ta cần biết dịch chuyển của tất...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Lý thuyết dao động - Chương 2 Ch−¬ng II Dao ®éng tuyÕn tÝnh cña hÖ nhiÒu bËc tù do §.2.1. Ph−¬ng ph¸p chung thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng 2.1.1. HÖ nhiÒu bËc tù do. Thùc tÕ c¸c hÖ cÇn tÝnh to¸n dao ®éng phÇn lín lµ c¸c hÖ ®µn håi phøc t¹p, nh−: dÇm,thanh cã tiÕt diÖn kh«ng ®æi hoÆc thay ®æi, c¸c trôc th¼ng cã g¾n c¸c ®Üa, c¸c trôc khuûucña ®éng c¬ ®èt trong, c¸c c¸nh vµ ®Üa tuèc bin v.v... §Ó x¸c ®Þnh ®Çy ®ñ biÕn d¹ng cña hÖ sinh ra do dao ®éng, ta cÇn biÕt dÞch chuyÓn cñatÊt c¶ c¸c ®iÓm cña nã, nh÷ng hÖ ®µn håi nh− thÕ cã v« sè bËc tù do. Tuy nhiªn, trong nhiÒu tr−êng hîp viÖc nghiªn cøu dao ®éng ë c¸c hÖ phøc t¹p v« sèbËc tù do gÆp nhiÒu khã kh¨n vÒ to¸n häc. ViÖc tÝnh to¸n thùc tÕ kü thuËt ph¶i ®−a vµo c¸c s¬®å ®¬n gi¶n ®Ó tÝnh to¸n hÖ dao ®éng. Cã nhiÒu c¸ch ®¬n gi¶n ho¸ kh¸c nhau, mét trong c¸cc¸ch ®−îc sö dông réng r·i lµ: Thay hÖ phøc t¹p b»ng mét hÖ kh¸c ®¬n gi¶n h¬n víi khèil−îng vµ ®é cøng ph©n bè kh¸c ®i, nh−ng gÇn hÖ ®· cho ë chç: Gi¸ trÞ tÝnh to¸n kh«ng kh¸cmÊy gi¸ trÞ thùc. HÖ nµy ®−îc gäi lµ hÖ thu gän (hay hÖ t−¬ng ®−¬ng). Ph−¬ng ph¸p nµy chophÐp ta thay c¸c hÖ v« sè bËc tù do b»ng hÖ h÷u h¹n bËc tù do t−¬ng ®−¬ng. Ta minh ho¹ ý t−ëng tr×nh bµy trªn b»ng vÝ dô ®¬n gi¶n sau ®©y: T¶i Aträng m ®−îc treo vµo ®iÓm A cè ®Þnh b»ng lß xo AB (H×nh 2-1). NÕu kÓ ®Õnsù ph©n bè khèi l−îng cña lß xo th× hÖ sÏ cã v« sè bËc tù do. Nh−ng nÕu khèi Bl−îng cña t¶i träng m v−ît xa khèi l−îng cña lß xo vµ yªu cÇu chØ x¸c ®Þnh tÇn q msè dao ®éng nhá nhÊt, ta cã thÓ bá qua khèi l−îng lß xo vµ chØ tÝnh ®Õn tÝnh®µn håi cña nã. MÆt kh¸c chØ xÐt ®Õn dÞch chuyÓn th¼ng ®øng cña t¶i träng mth× ta hoµn toµn cã thÓ xem hÖ cã mét bËc tù do, vÞ trÝ cña hÖ dao ®éng ®−îc H×nh 2-1x¸c ®Þnh duy nhÊt bëi to¹ ®é suy réng q. 2.1.2. Ph−¬ng ph¸p chung thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng. ViÖc lùa chän ph−¬ng ph¸p thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng cña hÖ nhiÒu bËc tùdo phô thuéc vµo m« h×nh c¬ häc cña hÖ. §èi víi c¸c c¬ hÖ gåm c¸c chÊt ®iÓm, c¸c vËt r¾n, c¸c lß xo bá qua khèi l−îng, c¸c bÖgi¶m chÊn ma s¸t, ng−êi ta th−êng dïng ph−¬ng tr×nh Lagr¨ng lo¹i II ®Ó thiÕt lËp ph−¬ngtr×nh dao ®éng. §èi víi c¸c kÕt cÊu ®µn håi, nh− dao ®éng uèn cña dÇm cã khèi l−îng tËptrung, ..., ng−êi ta th−êng dïng ph−¬ng ph¸p lùc, ... Trong phÇn tr×nh bµy nµy, ta nªu c¸ch ¸p dông ph−¬ng tr×nh Lagr¨ng lo¹i II ®Ó thiÕt lËpph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng cña hÖ nhiÒu bËc tù do. XÐt hÖ N chÊt ®iÓm, cã n bËc tù do, chÞu t¸c dông cña c¸c lùc cã thÕ, c¸c lùc c¶n phôthuéc bËc nhÊt vµo vËn tèc vµ c¸c lùc kÝch ®éng lµ hµm bÊt kú cña thêi gian Pi(t) (i = 1, n ). 38 Gäi q1, q2, ... qn (qi, i = 1, n ) lµ c¸c to¹ ®é suy réng cña hÖ: Q iπ , Q φ , Q iP lµ c¸c lùc suy iréng cña c¸c lùc cã thÕ, c¸c lùc c¶n vµ c¸c lùc kÝch ®éng Pi(t), ph−¬ng tr×nh Lagr¨ng II viÕtcho hÖ cã d¹ng: ⎛ ⎞ d ⎜ ∂T ⎟ ∂T π φ ⎟ − ∂q = Q i + Q i + Q i ; i = 1, n Pi (2-1) dt ⎜ • ⎜∂q ⎟ ⎝i ⎠ i ∂π ∂φ ë ®©y: Q iπ = − ; Q φ = − • ; Q iPi = Q i (t ) ; i = 1, n ∂q i i ∂ qi XÐt víi dao ®éng nhá, ta cã: • • 1n n T= ∑ ∑ (a ij = a ji ) a ij q i q j 2 i =1 j =1 1n n ∑ ∑ π= (c ij = c ji ) c ij q i q j 2 i =1 j =1 • • 1n n ∑ ∑ φ= (b ij = b ji ) b ij q i q j 2 i =1 j =1 C¸c hÖ sè aij, cij, bij tho¶ m·n ®iÒu kiÖn xin-vÐc-tr¬ vµ lµ c¸c h»ng sè. Thay c¸c biÓuthøc trªn vµo ph−¬ng tr×nh Lagr¨ng II, ta nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng cña hÖ: •• • n n n ∑ a ij q j ∑ b ij q j + ∑ c ij q j = Q i (t ); i = 1, n (2-2) j=1 j=1 j=1 ViÕt cô thÓ hÖ (2-2) ta cã:⎧ •• •• •• • • • a 11 q 1 + a 12 q 2 + ... + a ...