Lý thuyết dao động - Chương 3

Dao động tuyến tính của hệ có vô số bậc tự do Hệ có khối lượng phân bố liên tục có vô số bậc tự do (tức là có vô số tần số riêng và dạng dao động riêng). Khác với hệ hữu hạn bậc tự do phương trình toán học mô tả quá trình dao động là hệ phương trình vi phân thường, ở đây dẫn tới phương trình vi phân đạo hàm riêng. Do đó ngoài các điều kiện ban đầu, cần xét đến các điều kiện biên. Ta xét một số hệ liên tục đơn giản thường...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Lý thuyết dao động - Chương 3 Ch−¬ng III Dao ®éng tuyÕn tÝnh cña hÖ cã v« sè bËc tù do HÖ cã khèi l−îng ph©n bè liªn tôc cã v« sè bËc tù do (tøc lµ cã v« sè tÇn sè riªng vµd¹ng dao ®éng riªng). Kh¸c víi hÖ h÷u h¹n bËc tù do ph−¬ng tr×nh to¸n häc m« t¶ qu¸ tr×nh dao ®éng lµ hÖph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng, ë ®©y dÉn tíi ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹o hµm riªng. Do ®ãngoµi c¸c ®iÒu kiÖn ban ®Çu, cÇn xÐt ®Õn c¸c ®iÒu kiÖn biªn. Ta xÐt mét sè hÖ liªn tôc ®¬n gi¶n th−êng gÆp trong kü thuËt. §.3.1. Dao ®éng däc cña thanh tiÕt diÖn kh«ng ®æi. 3.1.1. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng däc cña thanh. Khi xÐt dao ®éng däc cña thanh th¼ng ta coi tiÕt diÖn ngang cña thanh ph¼ng vµ c¸cphÇn tö cña thanh kh«ng thùc hiÖn dÞch chuyÓn ngang mµ chØ dÞch chuyÓn theo h−íng däcthanh. Cho thanh th¼ng dµi L. Chän trôc Ox h−íng däc thanh nh− h×nh vÏ (H×nh 3-1). L U n m m n X O U + ∂U dx dx dx x ∂x n m ∂N dx N N ∂x H×nh 3-1 Ký hiÖu: ρ lµ khèi l−îng riªng cña vËt liÖu thanh; E lµ M«®un ®µn håi cña nã; F lµdiÖn tÝch tiÕt diÖn ngang cña thanh. XÐt ph©n tè giíi h¹n bëi hai mÆt c¾t m, n. Gäi U lµ dÞch chuyÓn däc cña tiÕt diÖnngang bÊt kú m cã to¹ ®é x khi dao ®éng. DÞch chuyÓn nµy sÏ lµ hµm cña x vµ t: U = U(x,t). ∂UKhi ®ã dÞch chuyÓn ë tiÕt diÖn l©n cËn n sÏ b»ng: U + dx . Tõ ®ã ®é d·n dµi tuyÖt ®èi cña ∂x ∂U ∂U dx ; vµ ®é d·n dµi t−¬ng ®èi cña nã b»ng: ε = (3-1)ph©n tè thanh dx lµ ∂x ∂x65 Lùc däc t¸c dông t¹i tiÕt diÖn ngang m cã to¹ ®é x ®−îc tÝnh theo biÓu thøc: ∂U N = EFε = EF (3-2) ∂x EF gäi lµ ®é cøng cña thanh khi kÐo, nÐn. Lùc däc t¸c dông t¹i tiÕt diÖn ngang l©n cËncã to¹ ®é (x + dx) b»ng: ∂N N′ = N + dx. ∂x ∂ 2U Khèi l−îng ph©n tè thanh kh¶o s¸t lµ: ρFdx, nªn lùc qu¸n tÝnh ®Æt lªn nã lµ: − ρFdx 2 . ∂t ¸p dông nguyªn lý §a-l¨m-be ®èi víi ph©n tè thanh, ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ∂N ⎞ ∂2U ⎛®éng trªn trôc Ox: − N + ⎜ N + dx ⎟ − ρFdx 2 = 0 ∂x ⎠ ∂t ⎝ ∂N ∂2U = ρF 2 Suy ra: (3-3) ∂x ∂t ∂2U ∂ 2U = a2 Thay (3-2) vµo (3-3) nhËn ®−îc: (3-4) ∂t 2 ∂x 2 F Trong ®ã: a = lµ tèc ®é truyÒn sãng däc trong thanh; (3-4) lµ ph−¬ng tr×nh dao ρ®éng däc cña thanh tiÕt diÖn kh«ng ®æi . 3.1.2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh (3-4) b»ng ph−¬ng ph¸p Furiª. Ph−¬ng tr×nh (3-4) lµ ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng cÊp hai gäi lµ ph−¬ng tr×nh sãng.Hµm U = U(x,t). NR cña (3-4) t×m d−íi d¹ng: U = X(x)T(t) (3-5) NghÜa lµ t×m U ë d¹ng tÝch hai hµm. X(x) chØ lµ hµm cña x, T(t) chØ lµ hµm cña t. Thay(3-5) vµo (3-4) ta cã: •• a 2 X ′′ T = X T VÕ tr¸i cña ®¼ng thøc chØ phô thuéc vµo x, vÕ ph¶i c ...