Lý thuyết dao động - Chương 4

Va chạm dọc của vật rắn vào thanh đàn hồi và áp dụng lý thuyết va chạm vào bài toán đóng cọc Nội dung chương này sẽ trình bày: Một vài bài toán về va chạm dọc của vật rắn vào thanh đàn hồi và ứng dụng của chúng để nghiên cứu các bài toán va chạm của búa vào cọc. Đ.4.1. Một vài bài toán về va chạm dọc của vật rắn vào thanh đàn hồi. 4.1.1. Va chạm dọc của vật rắn vào thanh đàn hồi tự do. Bài toán này đã được Xanhvơnăng giải bằng phương pháp...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Lý thuyết dao động - Chương 4 Ch−¬ng IV Va ch¹m däc cña vËt r¾n vμo thanh ®μn håi vμ ¸p dông lý thuyÕt va ch¹m vμo bμi to¸n ®ãng cäc Néi dung ch−¬ng nµy sÏ tr×nh bµy: Mét vµi bµi to¸n vÒ va ch¹m däc cña vËt r¾n vµo thanh ®µn håi vµ øng dông cñachóng ®Ó nghiªn cøu c¸c bµi to¸n va ch¹m cña bóa vµo cäc. §.4.1. Mét vμi bμi to¸n vÒ va ch¹m däc cña vËt r¾n vμo thanh ®μn håi. 4.1.1. Va ch¹m däc cña vËt r¾n vµo thanh ®µn håi tù do. Bµi to¸n nµy ®· ®−îc Xanhv¬n¨ng gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p Butxinet vµ nghiÖm t×m®−îc d−íi d¹ng hµm liªn tôc tõng khóc ®èi víi mét vµi kho¶ng gi¸ trÞ cña biÕn sè. Sau ®ãE.A.Nhic«lai ®· t×m ®−îc biÓu thøc gi¶i tÝch cña nghiÖm ®èi víi kho¶ng tuú ý liªn tôc cñabiÕn sè. V0 x O H×nh 4-1 Ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng cña thanh lµ: ∂2U ∂ 2U = a2 (4-1) ∂t 2 ∂x 2 XÐt ®iÒu kiÖn ®Çu vµ ®iÒu kiÖn biªn cña bµi to¸n. Gi¶ sö thêi ®iÓm t = 0 trïng víi thêi ®iÓm b¾t ®Çu va ch¹m cña vËt r¾n vµ thanh, khi®ã ta cã ®iÒu kiÖn ban ®Çu sau: • U(0,t) = 0; U t (0, t ) = 0 víi a < x < L (4-2) • U t (0, t ) = −V0 víi x = L (4-3) Trong ®ã: L lµ chiÒu dµi cña thanh; V0 lµ vËn tèc ban ®Çu cña vËt thÓ va ch¹m. §iÒukiÖn cuèi ta coi r»ng ë thêi ®iÓm ban ®Çu vËn tèc cña ®Çu thanh trïng víi vËn tèc cña vËt vach¹m. ë t¹i ®Çu tù do (x = L) cña thanh. Lùc qu¸n tÝnh cña vËt thÓ va ch¹m cã d¹ng: ∂U Q ∂2U =− (4-4) EF ∂x g ∂t 279 Trong ®ã: Q - träng l−îng cña vËt thÓ va ch¹m; F - diÖn tÝch tiÕt diÖn ngang cña thanh. Ta ký hiÖu tû sè gi÷a träng l−îng cña vËt thÓ va ch¹m Q vµ träng l−îng cña thanhQ1 = γFL qua m, do ®ã Q = mQ1. HÖ thøc trªn ®−îc viÕt: ∂ 2 U (t, L ) ∂U (t, L ) = −a 2 mL (4-5) ∂x ∂t 2 §iÒu kiÖn biªn ë ®Çu tù do kia cña thanh cã d¹ng: ∂U (t,0) =0 (4-6) ∂x NghiÖm cña (4-1) theo §a-l¨m-be cã d¹ng: U = ϕ(at – x) + ψ(at + x) (4-7) Khi ®¹o hµm hÖ thøc trªn theo thêi gian vµ to¹ ®é ta cã: ∂U = a[ϕ′(at – x) + ψ′(at + x)] (a) ∂t ∂U = – ϕ′(at – x) + ψ′(at + x) (b) ∂x Víi x = 0 theo ®iÒu kiÖn biªn ta cã: ∂U( t ,0) = −ϕ′(at ) + ψ ′(at ) = 0 (c) ∂x ϕ′(at ) = ψ ′(at ) Hay: ϕ′(at − x) = ψ ′(at − x) Do ®ã: Khi tÝch ph©n ®¼ng thøc ta cã: ϕ(at – x) = ψ(at – x) §¼ng thøc (4-7) cã thÓ viÕt: U = ψ(at – x) + ψ(at + x) ∂U (0, x) = a[ψ ′(− x) + ψ ′(x)] = 0 Víi t = 0 ta sÏ cã: ∂t ψ ′(− x ) + ψ ′( x ) = 0 Hay lµ: (d) MÆt kh¸c tõ ®¼ng thøc (b) ta cã: − ψ ′(− x ) + ψ ′( x ) = 0 Suy ra ψ ′(− x ) = 0 , ψ ′( x ) = 0 víi 0 < x < L, hay nãi c¸ch kh¸c nÕu thay biÕn sè xb»ng biÕn sè míi z ta cã: ψ ′(z ) = 0 Víi – L < z < L 80 TÝch ph©n hÖ thøc (d) vµ lo¹i bá c¸c h»ng sè ta cã: ψ(–x) – ψ(x) = 0 Theo ®iÒu kiÖn ®Çu: U( 0,x) = ψ(–x) + ψ(x) = 0 ψ(−x) = ψ(x) = 0 víi 0 < x < L Tõ ®ã suy ra: ψ( z ) = 0 Do ®ã: Víi: – L < z < L (e) Khi sö dông ®iÒu kiÖn (4-6) ta sÏ cã: mLa 2 [ψ ′(at − L ) + ψ ′(at + L )] = −a 2 [− ψ ′(at − L ) + ψ ′(at + L )] §Ó ®¬n gi¶n ta ®Æt z = at + L, ph−¬ng tr×nh trªn ®−îc viÕt: 1 1 ψ ′′(z ) + ψ ′(z) = −ψ ′′(z − 2L ) + ψ ′(z − 2L ) (4-8) mL mL NghiÖm tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh cã d¹ng: ⎡ ⎤ z z z − − 1 ψ ′(z ) = Ce ⎢− ψ ′′(z − 2L) + mL ψ ′(z − 2L )⎥ dz ∫e ...