Lý thuyết dao động - Chương 5

Lý thuết dao động phi tuyến nghiên cứu các chuyển động tuần hoàn được mô tả bởi các phương trình vi phân phi tuyến. Nhiều hiện tượng quan sát được trong lĩnh vực kỹ thuật giao thông vận tải, động lực học máy, vô tuyến điện, động lực học nền móng v.v... phải được giải thích bằng dao động phi tuyến. Lý thuyết dao động phi tuyến phản ánh tính chất của chuyển động dao động đầy đủ và chính xác hơn. Thực tế, lớp các lực phi tuyến vô cùng phong phú. Tuy vậy, có thể tập hợp một...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Lý thuyết dao động - Chương 5 Ch−¬ng V C¬ së cña lý thuyÕt dao ®éng phi tuyÕn Më ®Çu Lý thuÕt dao ®éng phi tuyÕn nghiªn cøu c¸c chuyÓn ®éng tuÇn hoµn ®−îc m« t¶ bëic¸c ph−¬ng tr×nh vi ph©n phi tuyÕn. NhiÒu hiÖn t−îng quan s¸t ®−îc trong lÜnh vùc kü thuËtgiao th«ng vËn t¶i, ®éng lùc häc m¸y, v« tuyÕn ®iÖn, ®éng lùc häc nÒn mãng v.v... ph¶i®−îc gi¶i thÝch b»ng dao ®éng phi tuyÕn. Lý thuyÕt dao ®éng phi tuyÕn ph¶n ¸nh tÝnh chÊtcña chuyÓn ®éng dao ®éng ®Çy ®ñ vµ chÝnh x¸c h¬n. Thùc tÕ, líp c¸c lùc phi tuyÕn v« cïng phong phó. Tuy vËy, cã thÓ tËp hîp mét sè tÝnhchÊt chung t¹o thµnh c¸c ®Æc tr−ng s¬ bé vÒ sù kh¸c nhau gi÷a hÖ phi tuyÕn vµ hÖ tuyÕntÝnh: 1- Kh«ng thÓ ¸p dông nguyªn lý tæ hîp tuyÕn tÝnh ®èi víi c¸c hÖ phi tuyÕn. NghÜa lµ,kh«ng thÓ lËp NTQ cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n hÖ phi tuyÕn b»ng c¸c NR ®éc lËp. 2- Dao ®éng tù do cña hÖ tuyÕn tÝnh bao giê còng t¾t dÇn. Dao ®éng tuÇn hoµn thùc sùcña nã chØ cã thÓ x¶y ra d−íi d¹ng dao ®éng c−ìng bøc xuÊt hiÖn do t¸c ®éng cña c¸c lùckÝch ®éng tuÇn hoµn tõ bªn ngoµi. Trong hÖ phi tuyÕn cã thÓ x¶y ra c¸c dao ®éng tù do tuÇnhoµn æn ®Þnh (ngay c¶ khi cã c¶n), ch¼ng h¹n nh−: Dao ®éng cña con l¾c ®ång hå vµ nhiÒuhÖ dao ®éng kh¸c. 3- Dao ®éng c−ìng bøc trong hÖ tuyÕn tÝnh do c¸c lùc ®iÒu hßa g©y ra sÏ cã cïng tÇnsè vµ chu kú víi lùc, cßn trong hÖ phi tuyÕn cã thÓ x¶y ra víi chu kú lùc kÝch ®éng, nh−ngcòng cã thÓ x¶y ra víi chu kú b»ng béi sè nguyªn hoÆc ph©n sè cña chu kú lùc kÝch ®éng.Do ®ã ®èi víi hÖ phi tuyÕn mét bËc tù do d−íi t¸c dông cña mét lùc ®iÒu hoµ cã thÓ x¶y ranhiÒu chÕ ®é céng h−ëng. 4- TÇn sè riªng trong hÖ tuyÕn tÝnh kh«ng phô thuéc vµo ®iÒu kiÖn ®Çu vµ biªn ®é.PhÇn lín trong c¸c hÖ phi tuyÕn tÇn sè phô thuéc vµo biªn ®é dao ®éng. Ta minh ho¹ mét sè thÝ dô sau ®Ó lµm râ ®Æc tr−ng phi tuyÕn cña hÖ kh¶o s¸t: ThÝ dô 1: Con l¾c to¸n häc: (H×nh 5-1) ta cã: O m w = mg + T ϕ L τ ChiÕu lªn ph−¬ng tiÕp tuyÕn τ, th×: T •• mw τ = −mg sin ϕ ⇒ L ϕ+ g sin ϕ = 0 mg g = k 2 , ta nhËn ®−îc: §Æt: L H×nh 5-1 •• ϕ+ k 2 sin ϕ = 0 (1) 124 ϕ3 ϕ3 •• Víi dao ®éng bÐ: sin ϕ = ϕ − ... do ®ã: ϕ+ k (ϕ − ) = 0 2 (2) 6 6 •• Khi tuyÕn tÝnh hÖ: ϕ+ k 2 ϕ = 0 (3) 2π L Nh− ®· biÕt, ë ph−¬ng tr×nh (3) ta cã dao ®éng ®iÒu hoµ víi chu kú T == 2π k gchØ phô thuéc vµo c¸c tham sè cña hÖ mµ kh«ng phô thuéc vµo ®iÒu kiÖn ®Çu cña chuyÓn®éng. Râ rµng tÝnh chÊt Êy sÏ kh«ng ®óng víi ph−¬ng tr×nh (2). ThÝ dô 2: ChÊt ®iÓm nÆng khèi l−îng m g¾n mvµo ®Çu thanh ®µn håi (H×nh 5-2). x Lùc ®µn håi cho bëi hµm y = f(x). Ph−¬ng tr×nh dao ®éng cã d¹ng: x •• m x + f (x) = 0 (4) y = f(x) ViÖc tuyÕn tÝnh ho¸ ph−¬ng tr×nh (4), tøc thay®−êng cong y = f(x) bëi ®−êng th¼ng y = kx ®−îc ychÊp nhËn víi gi¸ trÞ rÊt nhá cña x vµ ta cã: O •• m x + kx = 0 (5) y = kx Víi x lín th× ph¶i xÐt ®Õn hµm f(x) d−íi d¹ng phituyÕn. ThÝ dô 3: XÐt hÖ chØ trªn h×nh vÏ: (H×nh 5-3) Gäi L lµ ®é dµi ban ®Çu cña lß xo, C lµ hÖ sè H×nh 5-2cøng cña nã. Gi¶ sö khi t¶i träng ë vÞ trÝ trung b×nh lß x 2 + L2 − L vµxo kh«ng c¨ng, khi t¶i träng lÖch mét kho¶ng x lß xo gi·n ra mét ®o¹n: ) (lùc c¨ng cña lß xo lµ: N = C x 2 + L2 − L Thµnh phÇn ngang cña lùc x¸c ®Þnh ®Æc tÝnh ®µn håi cña hÖ sÏ b»ng: ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ P ⎜ ⎟ q=x x 1 P=N = Cx⎜1 − ⎟ x 2 + L2 x2 ⎟ ⎜ 1+ 2 ⎟ ⎜ m ⎝ L⎠ q=x O Gäi x lµ nhá so víi L, cã thÓ lÊy: ...