lý thuyết hạt cơ bản: phần 2

phần 2 của lý thuyết hạt cơ bản gồm có những nội dung chính sau: giải phương trình dirac, lý thuyết trường chuẩn cổ điến, mô hình tiêu chuẩn. mời các bạn cùng tham khảo để biết thêm các nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
lý thuyết hạt cơ bản: phần 2LÝ THUYẾT HẠT c ơ BẢNGIAI PHƯƠNG TRÌNH DIXACCHƯƠNG IIIGIẢI PHƯƠNG TRÌNH DIRAC1.Nghiệm riêng của phương trình Dirac cho hạt tự doTrong mục này ta sẽ chọn biểu diễn tiêu chuẩn cho các ma trậnDirac. Hàm sóng sẽ là spinơ 4 thành phần, và đè ký hiệu các thànhphần cùa nó, ta sẽ dùng các chữ cái ở cuối bảng, như. Khi đó, sẽ có chi số r = 1,2,3,4. Ta cũng dùng chi số nói trên dề ký hiệuị/rthứ tự nghiệm độc lập cùa phương trình Dirac. Ví dụ, ụ/ị sẽ chi thànhphần thứ ba của nghiệm thứ hai. Các spinơ hiệp biến (liên hợp Dirac),chỉ số thành phần của chúng sẽ là chi số dưới, trong khi chỉ sô thir tựnghiệm lại là chỉ số trên. Ví dụ, ỹ/ị sẽ là thành phần thứ hai củanghiệm thứ ba. Mặc dù cũng có 4 giá trị, không nên nhầm lẫn chí sốspinơ với các chỉ số Lorentz a , ( 3 Trong phần cuối, ta sẽ dùng uđể ký hiệu hai nghiệm năng lượng dương, và V để ký hiệu hai nghiệmnăng lượng âm của phương trình Dirac. Do có hai nghiệm u , và hainghiệm V ta sẽ dùng chữ cái đầu bảng để chi hai nghiệm đó. Nhưvậy, bốn nghiệm độc lập của phương trình Dirac sẽ là U a và uh,a,b = 1, 2 .Ta sẽ dùng quy ước cộng theo các chỉ số lặp lại bất kỷ chochúng thuộc loại chỉ số nào. Để các công thức khói phức tạp, chồ nàokhông gây nên sự hiểu nhầm, ta cũng bỏ luôn cả các chỉ số câm. Vídụ, khi có chỉ số câm theo các nghiệm, ta sẽ bỏ chỉ số cộng theo thànhphần spinơ. Như vậy, tổng theo số nghiệm uau a , thực chất sẽ là:uaũ a = Uịũ] + U2Ũ2 = u[ũl + ur ũ^ =2=+ ufũị + uu + w ) + (w‘ĩ7 + u]ũ* + uũl + uũl I,4ĩ?4,2Với các quy ước trên ta tiến hành giải phương trình Dirac.126GIAI rin ONG TRÌNH DIRACLÝ THUYẾT HẠT c ơ BẢNĐối với hạt tự do. thuận tiện nhất là xét hệ quy chiếu gấn liềnvới hạt, khi đó, hạt ở trạng thái đứng vên. Vectơ năng - xung lirợnẹcủa hạt Irong hệ quy chiêu nay cỏ dạne:p = { E / c , p ) = (ỵmc2 ỉc)(3.1)Do biức sóng de Broglie của nó la vô hạn. hàm sónọ cua nỏ sẽ khôngphụ thược vào toạ độ, điều này kéo theo V IỊ/ —0 và phương trinhDirac .ho hạt tự do sẽcó dạng:(3.2)ih ỵ ° ô 0ụ/ - mcụ/ = 0Chú ý đến biểu diễn tiêu chuẩn (2.16) cùa ma trận ỵ , phương trình(3.2) 5ẽ cho bốn nghiệm sóng phảng sau đây:Vr(0 = wr(0 )ex p i - ^ rmc(3.3)Trong đó, w ( 0 ) là các spinơ Dirac hằng số. còn:+ 1, r = 1,2(3.4)v-l, r ~ 3,4Hai nghiệm đầu, r = 1,2, là nghiệm tương ứnR với năng lượng dương,còn ha nghiệm sau r — 3 , 4 tương ứng với năng lượng dưưng:ihị-ụ/(t) = ih — w( 0 )exp<-i£r^ — > = srmc2tụ/ịt)(3.5)Cnr spinơ hãnơ số w (o) tirnrno ửnơ với /3 = 0 , íìiri lựa chọnííriCác sninnr hằng cn ws í oi tương ứng V h = 0 đượcnhư sai:(1)10IIrnr-*k001V5 XA=y400(3.6)o0IIsTv, =v 0(°)vOy• - t>ểtìm nghiệm của phương trình Dirac ở hệquy chiếư bất kỳ,ta chú Vrằng:m V= P¿0V 0,0 = .P^*l0,c•(3.7a)127LÝ THUYẾT HẠT c ơ BANCHAI PHƯƠNG TRÌNH D .-ÍC ■ÍR•»9cho nên, khi chuyên sang hệ quy chiêu mới:„(0) (0)prpX(3.7b)V -= pxJ --Khi đó, nghiệm dạng sóng phang đơn sắc của phương trình Dirac thoelectron tự do sẽ là:[ isị isựr ( x ) = Awr ( o ) e x p j —Ỵ P X ^ = wr ( ;3 ) e x p j - - Ỵ p x(3.8)trong đó, w(p) = Aw(0) với A là ma trận biến đổi Lorent/ cúaspinơ. Nghiệm (3.8) cũne là nghiệm riêne của toán tử xung lượng:-ih V iỵ r (x ) = e rpụ/r(3.9)Như vậy, r - 1,2, sẽ tương ứne với giá trị riêng p , cònr = 3 , 4 . sẽtương ứng với giá trị riêng - p .Chú ý rằng:£rpx = s r ( p 0ct - p r ) = €r ( E t - p f )(3.10)trong đó, E = Cyj~p2 + m 2c 2 = p ()c , cho nên, nghiệm (3.8) có thể viếtlại chi tiết như sau:px(3.1 la)y ìA{X) = W/ĩ.ÁP)eXp ị j l PX( 3 .1 Ib)hNếu xét hệ quy chiếu chuyển động so với hạt với vận tốc - V ,thì hạt sẽ có xung lượng là p = ỵmV . Khi đó, theo (2.54):0M p) =E + mc2mc20p.cp cE + mcp+cE + mc2E + mcPzcE + mcpcE + mc21p +c-PzcE + mc0E + mc128-PzcE + mc01(3.12)(HAI PỈỈƯƯNU TRÌNH DIRAÍL Ý 1 1IU YH I HẠ I C ơ BANtrong đỏ p ± =P x± ịp . Mồi nghiệm u ( p ) sẽ là một cột của ma trận(3.12). Bon spinơ này sẽ cho hỏn nẹhiệm dạng (3.8) với năng lượngvà xung lượng hoàn toàn xác định.Nhận xét răne, toán tư spin S = hZ/ 2 không giao hoán vớitoán tứ Hamilton Dirac của hạt. Thực vậv:[ c a p + p m c ỵ k] = cp [ a „ z k] = 2ci£lkla,p = 2 c i ( ãXp ) k (3.13)Như vậy, nó không phải là một đại lượrm bào toàn. Tuy nhiên, toán tử:(3.14)h = Sp/pthưừng gợi là toán tử toán tử xoăn (helicity) của hạt, lạigiao hoánvớiHamiltonian Dirac. Thực vây, theo (3.14),eiao hoán tử củaHamiltonian Dirac và toán tử spin là tích vectư” của ả và p ,nén, nỏ vuông góc vớiPchovà dó đó:h H DX k] p k = ~ { ả x p ) p = 0—p\p(3.15)Neoài Hamiltonian, toán tử xoắn còn giao hoán với toán tử xunglượng, cho nên, ta có thể tìm hệ nghiệm của phương trình Dirac, saocho nó là nghiệm riêng chung của cả ba toán tử đó. Nếu thực hiệnphép ...