Lý thuyết mật mã - Chương 4

Kiểm tra tính nguyên tố xác suất Để thiết lập hệ mật RSA, ta phải tạo ra các số nguyên tố ngẫu nhiên lớn (chẳng hạn có 80 chữ số). Trong thực tế, ph-ơng cách thực hiện điều này là: tr-ớc hết phải tạo ra các số ngẩu nhiên lớn, sau đó kiểm tra tính nguyên thuỷ của chúng bằng cách dùng thuật toán xác suất Monte- Carlo thời gian đa thức (chẳng hạn nh- thuật toán Miller- Rabin hoặc là thuật toán Solovay- Strasen). Cả hai thuật toán trên đều đ-ợc trình bày trong phần này. Chúng là các...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Lý thuyết mật mã - Chương 4 Vietebooks Nguyễn Hoàng Cương Ch−¬ng 4 KiÓm tra tÝnh nguyªn tè x¸c suÊt §Ó thiÕt lËp hÖ mËt RSA, ta ph¶i t¹o ra c¸c sè nguyªn tè ngÉu nhiªn lín (ch¼ng h¹n cã 80 ch÷ sè). Trong thùc tÕ, ph−¬ng c¸ch thùc hiÖn ®iÒu nµy lµ: tr−íc hÕt ph¶i t¹o ra c¸c sè ngÈu nhiªn lín, sau ®ã kiÓm tra tÝnh nguyªn thuû cña chóng b»ng c¸ch dïng thuËt to¸n x¸c suÊt Monte- Carlo thêi gian ®a thøc (ch¼ng h¹n nh− thuËt to¸n Miller- Rabin hoÆc lµ thuËt to¸n Solovay- Strasen). C¶ hai thuËt to¸n trªn ®Òu ®−îc tr×nh bµy trong phÇn nµy. Chóng lµ c¸c thuËt to¸n nhanh (tøc lµ mét sè nguyªn n ®−îc kiÓm tra trong thêi ®a thøc theo log2n, lµ sè c¸c bÝt trong biÓu diÖn nhÞ ph©n cña n). Tuy nhiªn, vÉn cã kh¶ n¨ng lµ thuËn to¸n cho r»ng n lµ sè nguyªn tè trong khi thùc tÕ n lµ hîp lÖ sè. Bëi vËy, b»ng c¸ch thay ®æi thuËt to¸n nhiÒu lÇn, cã thÓ gi¶m x¸c suÊt sai sè d−íi mét møc ng−ìng cho phÐp (sau nµy sÏ th¶o luËn kü h¬n mét chót vÒ vÊn ®Ò nµy). Mét vÊn ®Ò quan träng kh¸c: lµ cÇn ph¶i kiÓm tra bao nhiªu sè nguyªn ngÉu nhiªn (víi kÝch th−¬c x¸c ®Þnh)cho tíi khi t×m ®−îc mét sè nguyªn tè. Mét kÕt qu¶ nçi tiÕng trong lý thuyÕt sè (®−îc gäi lµ ®Þnh lý sè nguyªn tè) ph¸t biÓu r»ng: sè c¸c sè nguyªn tè kh«ng lín h¬n N xÊp xØ b»ng N/ln N. Bëi vËy, nÕu p ®−îc chän ngÉu nhiªn th× x¸c suÊt p lµ mét sè nguyªn tè sÏ vµo kho¶ng 1/ln p. Víi mét mo®un 512 bÝt, ta cã 1/ln p ≈ 1/77. §iÒu nµy cã nghÜa lµ tÝnh trung b×nh, c− 177 sè nguyªn ngÉu nhiªn p víi kÝch th−íc t−¬ng øng sÏ cã mét sè lµ sè nguyªn tè. DÜ nhiªn, nÕu chÜ h¹n chÕ xÐt c¸c sè nguyªn lÎ th× x¸c suÊt sÏ t¨ng gÊp ®«i tíi kho¶ng 2/177). Bìi vËy trªn thùc tÕ, hoµn toµn cã kh¶ n¨ng t¹o ®−îc c¸c nguyªn tè ®ñ lín vµ do ®ã vÒ mÆt thùc thÓ ta cã thÓ thiÕt lËp ®−îc mét hÖ mËt RSA. Sau ®©y sÏ tiÕp tôc xem xÐt ®iÒu nµy ®−îc thùc hiªn nh− thÕ nµo. Mét bµi to¸n quyÕt ®Þnh lµ mét bµi to¸n to¸n trong ®ã mét c©u hái cÇn ®−îc tr¶ lêi “cã” hoÆc “kh«ng”. Mét thuËt to¸n x¸c suÊt lµ mét thuËt to¸n bÊt kú cã sö dông c¸c sè ngÉu nhiªn (ng−îc l¹i, thuËt to¸n kh«ng sö dông c¸c sè ngÉu nhiªn sÏ ®−îc gäi lµ mét thuËt to¸n tÊt ®Þnh). C¸c ®Þnh nghÜa sau cã liªn quan tíi c¸c thuËt to¸n x¸c suÊt cho c¸c bµi to¸n quyÕt ®Þnh. §Þnh nghÜa 4.1 ThuËt to¸n Monte Carlo ®Þnh h−íng “cã” lµ mét thuËt to¸n x¸c suÊt cho mét bµi to¸n quyÕt ®Þnh, trong ®ã c©u tr¶ lêi “cã” lu«n lu«n lµ ®óng cßn c©u tr¶ lêi “kh«ng” cã thÓ lµ sai. ThuËt to¸n Monte Carlo ®Þnh h−íng “kh«ng“ còng ®−îc ®Þnh nghÜa theo c¸ch t−¬ng tù. Trang 1 Vietebooks Nguyễn Hoàng Cương Chóng ta nãi r»ng, mét thuËt to¸n Monte Carlo ®Þnh h−íng “cã” cã x¸c suÊt sai b»ng ε nÕu víi bÊt kú mæt tr−êng hîp nµo mµ c©u tr¶ lêi lµ “cã” th× thuËt to¸n cã c©u tr¶ lêi sai “kh«ng” víi x¸c suÊt kh«ng lín h¬n ε (x¸c suÊt nµy ®−îc tÝnh trªn mäi phÐp chon ngÉu nhiªn, cã thÓ thùc hiªn bëi thuËt to¸n víi mét c©u vµo ®· cho). Bµi to¸n quyÕt ®Þnh ë ®©y lµ bµi to¸n hîp lÖ sè m« t¶ ë h×nh 4.5. CÇn chó ý r»ng mét thuËt to¸n quyÕt ®Þnh chØ cã c©u tr¶ lêi “cã” hoÆc “kh«ng” ®Æc biÖt trong bµi to¸n hîp lÖ sè lµ ta kh«ng yªu cÇu thuËt to¸n tÝnh tÝch thõa sè khi n lµ hîp lÖ sè. Tr−íc tiªn ta sÏ m« t¶ thuËt to¸n Soloway- Strasson. §©y lµ mét thuËt to¸n Monte- Carlo ®Þnh h−íng “cã” cho bµi to¸n hîp sè cã Tr−íc tiªn ta sÏ m« t¶ thuËt to¸n Soloway- Strasson. §©y lµ mét thuËt to¸n Monte-Carlo ®Þnh h−íng “cã” cho bµi to¸n hîp sè vµ x¸c xuÊt sai 1/2. Bëi vËy, nÕu thuËt to¸n tr¶ lêi “cã” th× n lµ hîp sè; ng−îc l¹i nÕu n lµ hîp sè th× thuËt to¸n tr¶ lêi “cã” víi x¸c xuÊt tèi thiÓu 1/2. H×nh 4.5. Bµi to¸n hîp sè. §Æc tr−ng cña bµi to¸n: mét sè nguyªn d−¬ng n ≥ 2 C©u hái: n cã ph¶i lµ hîp sè kh«ng ? H×nh 4.6. Bµi to¸n vÒ c¸c thÆng d− bËc hai. §Æc tr−ng cña bµi to¸n: cho p lµ mét sè nguyªn tè lÎ vµ mét sè nguyªn x sao cho 0 ≤ x ≤ p-1 C©u hái: x cã ph¶i lµ thÆng d− bËc hai phÐp modulo p ? MÆc dï thuËt to¸n Miller-Rabin (ta sÏ xÐt sau) nhanh h¬n thuËt to¸n Soloway-Strasson (S-S) nh−ng ta sÏ xÐt thuËt to¸n S-S tr−íc v× nã dÔ hiÓu h¬n vÒ kh¸i niÖm, ®ång thêi l¹i liªn quan tíi mét sè vÊn ®Ò cña lý thuyÕt sè (mµ ta sÏ cßn dïng trong c¸c ch−¬ng tr×nh sau). Ta sÏ x©y dùng mét sè nÒn t¶ng s©u s¾c h¬n trong lý thuyÕt sè tr−íc khi m« t¶ thuËt to¸n. Trang 2 Vietebooks Nguyễn Hoàng Cương §Þnh nghÜa 4.2. Gi¶ sö p lµ mét sè nguyªn tè lÎ vµ x lµ mét sè nguyªn, 1 ≤ x ≤ p-1. x ®−îc gäi lµ thÆng d− bËc hai theo modulo p nÕu ph−¬ng tr×nh ®ång d− y2 ≡ x (modulo p) cã mét nghiÖm y∈Zp x ®−îc gäi lµ thÆng d− kh«ng bËc hai theo modulo p nÕu x ??? 0 (mod p) vµ x kh«ng ph¶i lµ thÆng d− bËc hai theo modulo p. VÝ dô 4.6. C¸c thÆng d− bËc hai theo modulo 11 lµ 1,3,4,5 vµ 9. CÇn ®Ó ý r»ng, (±1)2=1, (±5)2=3, (±2)2=4, (±4)2=5, (±3)2=9 (ë ®©y tÊt c¶ c¸c phÐp sè häc ®Òu t ...