Lý thuyết mẫu – bài toán ước lượng điểm trong thống kê - 1

Lý thuyết mẫu – bài toán ước lượng điểmThống kê toán học là khoa học thu thập, tổ chức sắp xếp, tổng hợp, phân tích và rút ra các kết luận từ các dữ liệu thực nghiệm. Đối tượng của thống kê toán được chia làm hai lĩnh vực: + Thống kê mô tả: nội dung của nó gồm việc thu thập số liệu, tổ chức sắp xếp, tổng hợp, phân tích và biểu diễn các số liệu thực nghiệm. + Các kết luận thống kê bao gồm: thiết kế các kết luận thống kê, kiểm định giả thiết, xác...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Lý thuyết mẫu – bài toán ước lượng điểm trong thống kê - 1Lý thuyết mẫu – bài toán ước lượng điểmThống kê toán học là khoa học thu thập, tổ chức sắp xếp, tổng hợp, phân tích vàrút ra các kết luận từ các dữ liệu thực nghiệm. Đối tượng của thống kê toán đượcchia làm hai lĩnh vực:+ Thống kê mô tả: nội dung của nó gồm việc thu thập số liệu, tổ chức sắp xếp,tổng hợp, phân tích và biểu diễn các số liệu thực nghiệm. + Các kết luận thống kê bao gồm: thiết kế các kết luận thống kê, kiểm định giảthiết, xác định các quan hệ và lập các dự báo.Một trong những bài toán đầu tiên của thống kê toán học là bài toán ước lượngtham số của phân phối. Trước khi đề cập tới vấn đề đó, ta cần các khái niệm vềmẫu ngẫu nhiên, hàm phân phối mẫu và các số đặc trưng mẫu.1. Mẫu ngẫu nhiên, hàm phân phối mẫu và các số đặc trưng mẫu Mẫu ngẫu nhiên Giả sử là một đại lượng chưa biết nào đó biến thiên trong tập U. Để xác địnhđược giá trị gần đúng của ta phải tiến hành thực nghiệm, chẳng hạn ta tiến hànhn thí nghiệm. Kết quả của các thí nghiệm này được đặc trưng bởi dãy n biến ngẫunhiên X1,…, Xn mà phân phối của chúng là F(x, ) phụ thuộc vào (thậm chí nócòn phụ thuộc vào các tham số chưa biết khác).Ta gọi (X1, X2,…, Xn) là một mẫu ngẫu nhiên từ phân phối F(x, ). Số n được gọilà kích thước mẫu (hay cỡ mẫu). Giá trị của mẫu thường kí hiệu bằng chữ (x1,x2,…, xn). Không gian Rn mà phần tử của nó là các điểm (X1, X2,…, Xn) được gọilà không gian mẫu.Chú ý: Thông thường ta hay xét (X1,X2,…,Xn) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lậpcó cùng phân phối. Hàm phân phối mẫu Giả sử (X1,X2,…,Xn) là mẫu ngẫu nhiên từ phân phối F(x, ).Định nghĩa 1.1. Hàm phân phối mẫu được định nghĩa bởi ,x Rtrong đó n là kích thước mẫu, m là số các giá trị mẫu Xi < x.Ví dụ 1.2. Kiểm tra ngẫu nhiên 10 học sinh. Kết quả điểm là (3, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 7,7, 9). Viết hàm phân phối mẫu.Giải. Hàm phân phối mẫu làTính chất 1.3. (Tính chất của hàm phân phối mẫu) 0 Fn(x) 1 vì 0 m n.  Fn(x) là hàm đơn điệu tăng.  Fn(x) = 0 với x min (X1,…, Xn) và Fn(x) = 1 với x > max (X1, X2,…,  Xn ) Fn(x) hội tụ hầu chắc chắn về hàm phân phối lí thuyết F(x) khi n  Các số đặc trưng mẫu  Trung bình mẫuØĐịnh nghĩa 1.4. Ta gọi số là trung bình mẫu.- Nếu mẫu cho dưới dạngX X1 X2 . … X kni n1 n2 …. nkvới n = n1 + n2 + … + nk thì- Nếu mẫu cho dưới dạng khoảngKhoảng Tần số nix1 – x2 n1x2 – x3 n2………. ……… xk – xk + 1 nk trong đóthì . Phương sai mẫuØĐịnh nghĩa 1.5. Phương sai mẫu là một số, ký hiệu được xác định bởiSố được gọi là phương sai mẫu điều chỉnh.Ví dụ 1.6. Cho mẫu quan sát đối với đại lượng ngẫu nhiên X làXi 1 2 3 4ni 20 15 10 5TìmGiải. Ta cóTừ đó,2. Bài toán ước lượng điểmGiả sử (X1, X2,…, Xn) là mẫu ngẫu nhiên từ phân phối F(x, ), U. (X1, X2,…, Xn) xác định trên không gian đo (Rn, A)Định nghĩa 2.1. Hàm (X) =nhận giá trị trong không gian đo (T, B(R)) đ ược gọi là một thống kê nếu với B -1 - đại số các tập con Borel của Rn, B(R) là A trong đó A làB(R) thì (B)-đại số các tập con của T.Ví dụ 2.2. Giả sử (X1, X2,…, Xn) là mẫu ngẫu nhiên độc lập từ phân phối chuẩn 2dạng tổng quát N(a; ). Các đại lượng ; làcác thống kê.Định nghĩa 2.3. (Thống kê đủ)Thống kê (X1, X2,…, Xn) (có thể (X) là một vectơ (X) = (X) = ( 1(X),…,s(X)) được gọi là thống kê đủ đối với tham số (hoặc đối với họ phân phối F(x,)) nếu phân phối điều kiện của X = (X1, X2,…, Xn) cho bởi (X) = t không phụthuộc vào .Ví dụ 2.4. Giả sử (X1, X2,…, Xn) là mẫu ngẫu nhiên độc lập từ phân phối Poissonvới tham số > 0. Khi đó là thống kê đủ đối với (X) = .Giải. Ta cóP[ : X1 =x1; X2 =x2;…; Xn=xn, = t] = P[ : X1 = x1; X2 = x2;…; Xn = xn,] =Vì X1,…, Xn độc lập và có phân phối Poisson với tham số cũng có > 0 nênphân phối Poisson với tham số n . Từ đóP[ = t] =Vậy phân phối điều kiệnP[X1 = x1; X2 = x ...