Lý thuyết số trường địa phương cơ bản: Phần 2

Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 cuốn "Cơ sở lý thuyết số trường địa phương" trình bày các nội dung: Định lý Newton về xấp xỉ, bổ đề Hensel và các ứng dụng; mở rộng trường đầy đủ - Mở rộng rẽ nhánh, nhánh, rẽ nhánh yếu. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Lý thuyết số trường địa phương cơ bản: Phần 2Định lý Newton về xấp xỉ, BỔ đề Hensel và các ứng dụng 125 CHƯƠNG V Định lý Newton về xấp xỉ, Bổ đề Hensel và các ứng dụngTrong chương này chúng ta nghiên cứu một số phương pháp thông dụng trongviệc giải phương ưình đa thức trong trường đầy đủ đối với định giá rời rạc.5.1. Định lý Newton về xấp xỉCho f ( x) = f ( x I , . . . , x n) là đa thức n biến X ị. Ký hiộu d ị f là đạo hàmriêng th eo b iế n X i c ủ a / , d ị j f là đ ạ o h à m r iê n g th e o b iế n X ị v à X j , v.v... T aký hiệu df là đạo hàm toàn phần bậc 1 của / , tức df(x) = d i f ( x ) d x l A------- 1 dnf ( x ) d x n, -và cPf(x) là đạo hàm toàn phần bậc 2 của / , tức d2 f ( x ) = dịj f { x) d x ị d x* ...với dxi là các vi phân của biến được xem như biến (tức chưa được gán mộtgiá trị cụ thể). Nếu gán cho các vi phân đó các giá trị cụ thể, ta quy ước viếtđsf(x)\b := dsf ( x ) \dXi= bll...,dxn=bn- Ví dụ df(x)b := dif(x)bi 4-----+ dnf(x) bn, d 2 f ( x ) b : = J 2 dijf (x )bibj .Ta nhắc lại công thức Taylor quen biết trong giải tích hàm nhiều biến. NếuX = ( a , - j . x n ) , v à a = ( a l t . . . . a „ ) , X + a = (a,i + d i , x n + a n ), th ì ta c ócóng thức Taylor f ( x + a) = f ( a) + df(a)x + d 2 f ( a ) x/ { 2!) H . -----Chú ý. Nếu / e 0 [ ft, X E o , thì tất cả các hệ số các đa thức (theo x) ởtrẽn đều thuộc o .5.1.1. Định lý. Cho k là trư(mg đ ầ y đủ đ ố i vớ i địn h í>iá rời r ạ c (m ũ ) Vvà vành định giá (o . m ). Cho f 6 0[x\, với X = (.Ti, là n biến, 126 Chương VT € m là phần tử nguyên tố và r là một s ố nquyên dươnẹ. Cho a ẽ O n sao ĩcho f{á ) = 0 (mod. 7T 2r_1) và d jf(a ) = 0 (mod.7rr_1) với mọi j , và có ítnhất chỉ s ố i sao cho dif(á) Ạ 0 (mod.7T Cho b 6 ớ là véctơ sao cho r).b = a (m od.nT) và f(b) = 0 (mod.7T 2r+s_1). Khi đóì) Tất cả các nghiệm của hệ đồng dư thức y = b (m.od.nr+s) f(y) = 0 (mod.TT2r+s)dược cho bởi y = ịmT+sc, với c € O n là nẹhiệm của đồng dư thức thực sự f{b) + itT+s{dif(b)ci H------- f dnf{b)cn) = b (m od.n2r+s),(tức đồng dư thức có ít nhất hoặc hệ tử f(b) Ạ 0 (m od.n), hoặc dfj(b) Ỷ0 (rnod.n)).2) Tồn tại nghiệm y € O n của phương trình f ( y ) = 0 sao cho y =a (ìĩiod.Tĩr).Chứng minh. 1) Cho y = b + Tr+sc, với c € ơ là nghiệm của đồng dư Tthức . /(ft) + + • • • + dnf(b)rm) = b (m od. 7ĩ2r+3).Khai triển Taylor ở trên cho ta f(y) = m + 7Tr+s(df(b)c) + n2(r+s) (d 2 Ị ( 6) c )/( 2 !) + • ■•.Theo giả thiết, ta c ó ./ ( 6) + nT+s(df(b)c) = b (m od. 7T2r+s), do đó f ( y ) =0 (mod. 7T2r+i). Ngược lại, cho y = b (mod.-rĩT+s) và f ( y ) = 0 (m od.n2r+s).Cho y = b + ttt+sc, c. e ỡ n. Lại theo công thức Taylor /( » ) = m + 7 r+s#(&)c + n 2 ^ d 2 Ị(b)c/ 2 \) + . . . = 0 (tt2^ ) , T T+s\trong đó d 7 (6 )|c € ỡ n, vì 6, c e ơ n. Do đó z := /(&) + n r+sd f ( b) c = 0 (mod.TT2T+s).Còn lại chỉ cần chứng minh ràng đây là đổng dư thức thực sự đối với r. tứccần chứng minh ràng hoặc f(b) ^ 0 (mod.n2r+s), hoặc tồn tại i saochod j ( b ) Ạ 0 (mod. 7T Giả sử ngược lại, tức là ta có r).f(b) = 0 (mod.TT2r+s) và với mọi i thì dif(b) = 0 {m od. 7Tr).Định lý Newton về xấp xỉ, Bổ để Hensel và các ứng dụng 127Vì b = a + 7T \ b G O n, nên rb J(b) = f ( a ) + Trdf(a)b’ + n 2r(d 2 f ( a ) b’/(2\)) 4----- TDo đó áp dụng công thức Taylor cho dif(x), ta có dif{b) = dif ( a ) + i ĩ r(d((iif ) ( a ) bi + (hạng tử bậc cao hơn) = 0 (mod.irr).Từ đó suy ra dif(a) = 0 (mod,.Tỉr) với mọi i, mâu thuẫn với giả thiết.2) Ta sẽ xây dựng dãy yn, sao cho yn = a (:mod.nr), yn -» y và f ( y n) — 0. >Rõ ràng khi dó f ( y ) = 0 và y = a (mod.7T Trước hết ta có nhận xét rằng r).phương trình đồng dư tuyến tính đối với X i , x n a 0 + aiXi H-----4- anxn = 0 (mod.7r)với Uị € o , c ó n gh iệm X = ( x i , X j , .... x n ) trong ơ n ếu c ó i > 0 sa o c h oa, Ạ 0 (mod.n). Quả vậy, ãị lúc đó là khả nghịch, nên phương trình ữịXị = bluôn có nghiệm với bất kỳ b. Ta xây dựng yữ như là nghiệm nào đó của hệ y0= a (mod.TĩT), J(y0) = 0 (mod.Tĩ2r).Tìm t/Ị) tư ơ n g đ ư ơ n g với v iệ c tìm Co e ỡ s a o c h o f (a ) + 7ĩrdf(a).c + n2r(- • •) = 0 (mod.7T2r)(dùng công thức Taylor), hay f ( a ) + T rdf(a)co + 7 2r(- • •) = 0 (mod.TT2r). T TTheo nhận xét trên và theo giả thiết, C tồn tại. Ta xây dựng yi như là một onghiêm của hệU) yi=Vo {mod.TTr~ i), f ( y i ) = 0 (mod.TT2r+l) rbằng cách giải rA e O n sao cho y x = y 0 + 7T 1c1, f ( y i ) = f ( y 0 ) r+ +Kr+1d f ( y o V i + 7T 2r+2(- ••) = 0 (m o d . i r 2r+l), hay r.[ là nghiệm của hệ0 ) /(.Vo) + irr+ ìdf(yo)cy = 0 (morf.7T2r+1).Vì y 0 = a ( 7T nên dễ thấy df(y0) = df{a) (m od.iĩT Theo giả thiết, ...