Lý thuyết toán học: Giới hạn - Đạo hàm - Vi Phân

Tài liệu giảng dạy về toán đã được giảng dạy với mục đích cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản nhất, có tính hệ thống liên quan tới toán học. Thông qua tài liệu này giúp các bạn hệ thống lại kiến thức toán học phần giới hạn, đạo hàm, vi phân. Chúc các bạn thành công..
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Lý thuyết toán học: Giới hạn - Đạo hàm - Vi Phân   Lý thuyết toán họcGiới hạn - Đạo hàm - Vi Phân ..........., tháng ... năm ........ Nhaéc laïi Giôùi haïn – Ñaïo haøm – Vi phaân1. Caùc giôùi haïn ñaëc bieät: sin x a) lim =1 x ®0 x x sin u(x) u(x) Heä quaû: lim =1 lim =1 lim =1 x ®0 sin x u(x)®0 u(x) u(x)®0 sin u(x) x æ 1ö b) lim ç 1 + ÷ = e, x Î R xø x ®¥ è 1 ex - 1 ln(1 + x) Heä quaû: lim (1 + x) x = e. lim =1 lim =1 x x x® 0 x® 0 x®02. Baûng ñaïo haøm caùc haøm soá sô caáp cô baûn vaø caùc heä quaû: (c)’ = 0 (c laø haèng soá) (x a ) = ax a-1 (ua ) = aua-1u æ1ö 1 æ1ö u ç ÷ = - 2 ç ÷ = - 2 èxø x èuø u ( x ) = 1 ( u ) = u 2x 2u (e ) = ex (e ) = u.e u x u (ax ) = a x .ln a (a u ) = a u .ln a . u 1 u (ln x ) = (ln u ) = x u 1 u (loga x ) = (loga u ) = x.ln a u.ln a (sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’.cosu 1 u = 1 + tg 2 x = (1 + tg 2 u).u (tgx) = (tgu) = cos x cos u 2 2 -1 - u = -(1 + cot g 2 x) = - (1 + cot g 2 u).u (cot gx) = (cot gu) = sin x sin u 2 23. Vi phaân: Cho haøm soá y = f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (a ; b) vaø coù ñaïo haøm taïi x Î (a; b) . Cho soá gia Dx taïi x sao cho x + Dx Î (a; b) . Ta goïi tích y’.Dx (hoaëc f’(x).Dx) laø vi phaân cuûa haøm soá y = f(x) taïi x, kyù hieäu laø dy (hoaëc df(x)). dy = y’.Dx (hoaëc df(x) = f’(x).Dx AÙp duïng ñònh nghóa treân vaøo haøm soá y = x, thì dx = (x)’Dx = 1.Dx = Dx Vì vaäy ta coù: dy = y’dx (hoaëc df(x) = f’(x)dx) Trang 1 NGUYEÂN HAØM VAØ TÍCH PHAÂN §Baøi 1: NGUYEÂN HAØM1. Ñònh nghóa: Haøm soá F(x) ñöôïc goïi laø nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân khoaûng (a ; b) neáu moïi x thuoäc (a ; b), ta coù: F’(x) = f(x). Neáu thay cho khoaûng (a ; b) laø ñoaïn [a ; b] thì phaûi coù theâm: F (a+ ) = f(x) vaø F (b - ) = f(b)2. Ñònh lyù: Neáu F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân khoaûng (a ; b) thì : a/ Vôùi moïi haèng soá C, F(x) + C cuõng laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân khoaûng ñoù. b/ Ngöôïc laïi, moïi nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân khoaûng (a ; b) ñeàu coù theå vieát döôùi daïng: F(x) + C vôùi C laø moät haèng soá. Ngöôøi ta kyù hieäu hoï taát caû caùc nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) laø ò f(x)dx. Do ñoù vieát: ò f (x)dx = F(x) + C Boå ñeà: Neáu F¢(x) = 0 treân khoaûng (a ; b) thì F(x) khoâng ñoåi treân khoaûng ñoù.3. Caùc tính chaát cuûa nguyeân haøm: ( ò f(x)dx ) = f(x) · ò af(x)dx = ...