Lý thuyết trường điên tử P2

Mô hình toán học cơ bản của hệ trường điện từ-môi trường là hệ phương trình Maxwell. Như sẽ thấy ở chương 2, hệ phương trình này được biểu diễn dưới dạng các toán tử về giải tích véctơ tác động lên các biến trạng thái E , D , B , H và J . Do vậy trong chương này sẽ nhắc lại một số kiến thức thuộc phạm vi toán học có liên quan.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Lý thuyết trường điên tử P2Chương 2: Giải tích véctơ2.1. Giới thiệu Mô hình toán học cơ bản của hệ trường điện từ-môi trường là hệ phương trìnhMaxwell. Như sẽ thấy ở chương 2, hệ phương trình này được biểu diễn dưới dạng các → → → → →toán tử về giải tích véctơ tác động lên các biến trạng thái E , D , B , H và J . Do vậytrong chương này sẽ nhắc lại một số kiến thức thuộc phạm vi toán học có liên quan.2.2. Các hệ tọa độ Hệ phương trình này thường được biểu diễn trong hệ tọa độ phù hợp với hình dạngcủa vật thể trong đó người ta nghiên cứu sự phân bố của trường điện từ. Có ba loại hệtọa độ: Descartes, trụ và cầu. Tọa độ của mỗi điểm trong không gian, hệ thống véctơđơn vị và các hệ số Lame trong các hệ tọa độ này được trình bày ở bảng sau: Hệ tọa độ Descartes Cầu Trụ Tọa độ trong không gian M(x, y, z) M(r, ϕ, z) M(R, θ, ϕ) h1 hx = 1 hr = 1 hR = 1 Hệ thống h2 hy = 1 hϕ = r hθ = R véctơ đơn vị h3 hz = 1 hz = 1 hϕ = R.sinθ → → → → q1 x0 r0 R0 → → → → Hệ số Lame q2 y0 ϕ0 θ0 → → → → q3 z0 z0 ϕ02.3. Các toán tử về giải tích véctơ → Gọi ψ là một đại lượng vô hướng và A là một đại lượng véctơ có các thành phầntheo các trục 1, 2 và 3 (tùy theo hệ tọa độ, xem bảng trên) là A1, A2 và A3.Chương 2 - Trang 82.3.1. Gradient dψ → dψ → dψ → Descartes: gradψ = x0 + y0 + z0 (2.1) dx dy dz dψ → 1 dψ → dψ → Trụ: gradψ = r0+ ⋅ ϕ0 + z0 (2.2) dr r dϕ dz dψ → 1 dψ → 1 dψ → Cầu: gradψ = R0 + ⋅ θ0 + ⋅ ϕ0 (2.3) dR R dθ R ⋅ sin θ dϕ2.3.2. Divergence → dA x dA y dA z Descartes: div A = + + (2.4) dx dy dz → 1 d(rA r ) 1 dA ϕ ∂A z Trụ: div A = ⋅ + ⋅ + (2.5) r dr r dϕ dz → 1 d(R 2 A R ) 1 d(sin θA θ ) 1 dA Cầu: div A = ⋅ + ⋅ + ⋅ ϕ (2.6) R 2 dR Rsinθ dθ Rsinθ dϕ2.3.3. Rotation → → → x0 y0 z0 → Descartes: rot A = d d d (2.7) dr dy dz Ax Ay Az 1 → → 1 → ⋅ r0 ϕ0 ⋅ z0 r r → Trụ: rot A = d d d (2.8) dr dϕ dz Ar rA ϕ Az → → 1 1 1 → ⋅R0 ⋅ θ0 ⋅ ϕ0 R 2 sin θ R sin θ R → Cầu: rot A = d d d (2.9) dR dθ dϕ AR RAθ R sin θA z Chương 2 - Trang 9 Như vậy: • Khi tác động toán tử grad lên một đại lượng vô hướng, ta có kết quả là một đạilượng véctơ. • Khi tác động toán tử div lên một đại lượng véctơ, ta có kết quả là một đại lượngvô hướng. • Khi tác động toán tử rot lên một đại lượng véctơ, ta có kết quả cũng là một đạilượng véctơ.2.3.4. Nabla 1 d → 1 d → 1 d → ∇= ⋅ ⋅ q1 + ⋅ ⋅ q1 + ⋅ ⋅ q3 ...