Mở rộng định lý Lagranger và một số ứng dụng của khai triển Taylor

Bài viết Mở rộng định lý Lagranger và một số ứng dụng của khai triển Taylor trình bày công thức khai triển Taylor của một hàm số khả vi, thông qua việc chứng minh Định lý mở rộng của Định lý Lagrange. Trình bày khai triển Taylor của đa thức và 3 dạng khai triển Taylor của hàm số bất kỳ.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Mở rộng định lý Lagranger và một số ứng dụng của khai triển Taylor SỐ 57/2021 KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUI MỞ RỘNG ĐỊNH LÝ LAGRANGER VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA KHAI TRIỂN TAYLOR Hoàng Thị Trang* Phòng Đào tạo, Trường Đại học Công nghiệp Quảng Ninh *Email: trangqn1981@gmail.com Mobile: 0359687487 Tóm tắt Từ khóa: Bài viết trình bày công thức khai triển Taylor của một hàm số khả vi, thông qua Công thức Taylor; Định lý việc chứng minh Định lý mở rộng của Định lý Lagrange. Trình bày khai triển mở rộng của định lý Taylor của đa thức và 3 dạng khai triển Taylor của hàm số bất kỳ. Đồng thời Lagranger; Khai triển Mac- trình bày một số ứng dụng của khai triển Taylor trong việc tính giới hạn của hàm Laurin; Phần dư dạng Peano; số, chứng minh bất đẳng thức, tính đạo hàm cấp cao của hàm số tại điểm x = 0, Phần dư dạng Lagranger; tính gần đúng giá trị biểu thức, giải gần đúng phương trình vi phân cấp 1. Đưa ra Quy tắc De L’Hospital. một số ví dụ cụ thể nhằm định hướng áp dụng khai triển Taylor để giải một số bài toán liên quan. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ  (1.6) Trong chương trình toán cao cấp có trình bày Tiếp tục lấy đạo hàm: các định lý về giá trị trung bình (Định lý Fermat, Định lý Rolle, Định lý Largange, Định lý Cauchy). Công thức Talor được xây dựng trong Định lý mở rộng của Định lý Largange, việc sử dụng công thức (1.7) Taylor có rất nhiều ứng dụng trong việc giải toán. Từ (1.5) đến (1.7), cho x = c, suy ra: 2. NỘI DUNG 2.1. Định lý (Mở rộng của định lý Lagranger) Nếu hàm số f(x) xác định có đạo hàm đến cấp Thay vào (1.3): n liên tục trên khoảng đóng [a, b], có đạo hàm cấp (n+1) lần trong khoảng mở (a, b) thì với bất kỳ luôn có: Đặt: (1.8) Theo giả thiết, khả vi đến (n + 1) lần và theo (1.1) (1.8) ta có: với là một số nằm giữa x và c. (1.9) Người ta gọi công thức (1.1) là công thức Đặt thì cũng có: Taylor và biểu diễn một hàm số f(x) dưới dạng (1.1) được gọi là khai triển Taylor hữu hạn của hàm số và (1.10) f(x) tại điểm x = c. Giả sử , từ các hệ thức (1.9), (1.10) Chứng minh: Xét hàm số f(x) liên tục trong khoảng đóng [a, ta có: b] và khả vi đến (n + 1) lần trong khoảng mở (a, b). Áp dụng định lý Cauchy vào tỉ số trên ta được: Giả sử tồn tại một đa thức có bậc không vượt quá n sao cho với một ta có: với nằm giữa x và c. Cũng từ hệ thức trên, có: (1.2) Tìm đa thức dưới dạng: Lại áp dụng định lý Cauchy vào tỉ số trên ta được (1.3) Thay x = c vào (1.3) ta có: (1.4) Lấy đạo hàm: với nằm giữa c1 và c.  (1.5) Sau (n + 1) lần áp dụng định lý Cauchy ta được: Lấy đạo hàm cấp hai: 8 KH&CN QUI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUI SỐ 57/2021 Từ cách đặt G(x) ta có: Trong đó c là điểm nào đó nằm giữa x và x0. với mọi x, do đó: Công thức trên được gọi là công thức khai triển Taylor của hàm số đến bậc n tại điểm x0 với và phần dư dạng Lagrange Mặt khác, từ hệ thức đặt suy ra: , được gọi là phần dư dạng Lagrange. Từ đó suy ra: 2.4. Một số ứng dụng của khai triển Talor Từ (1.8) ta có: 2.4.1. Ứng dụng tính giới hạn của hàm số Vậy: - Quy tắc De L’Hospital: Giả sử các hàm số khả vi tại lân cận a (a hữu hạn); và ở lân cận a. Nếu thì cũng có với là một số nằm giữa x và c. Ta được điều phải chứng minh. . 2.2. Khai triển Taylor đối với đa thức - Nhận xét: Xét đa thức + Trường hợp , quy tắc De ...