Một mở rộng của chuỗi Fourier

Bài viết Một mở rộng của chuỗi Fourier giới thiệu một mở rộng nhỏ của chuỗi Fourier, ý tưởng này được tác giả lên ý tưởng trong quá trình giảng dạy môn Phương trình vi phân (của K49, K50) và môn Phương trình Vật lý - Toán (cho các lớp của Khoa Thủy văn và ngành Kỹ thuật Điện trước đây của trường)
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một mở rộng của chuỗi Fourier Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2023. ISBN: 978-604-82-7522-8 MỘT MỞ RỘNG CỦA CHUỖI FOURIER Nguyễn Hữu Thọ Trường Đại học Thủy lợi, email: nhtho@tlu.edu.vn 1. GIỚI THIỆU CHUNG Để ý rằng, tính liên tục chưa đủ để suy ra tính hội tụ của Sf ( x) . Mặt khác, một trong Trong báo cáo này, tôi sẽ giới thiệu một các điều kiện dưới đây sẽ suy ra f là hàm liên mở rộng nhỏ của chuỗi Fourier, ý tưởng này tục và có biến phân bị chặn trên [,]: được tác giả lên ý tưởng trong quá trình giảng dạy môn Phương trình vi phân (của (i) f là hàm liên tục tuyệt đối trên [,]; K49, K50) và môn Phương trình Vật lý - (ii) f là hàm liên tục Lipschitz [,]; Toán (cho các lớp của Khoa Thủy văn và (iii) f là hàm liên tục và tồn tại một ngành Kỹ thuật Điện trước đây của trường) phân hoạch   x0  x1  ....  x p   sao cho hạn chế f [ xk 1 , xk ] là khả vi liên tục trên 2. NỘI DUNG BÁO CÁO [ xk 1 , xk ], k  1, 2,..., p ; 2.1. Đặt vấn đề (iv) f là hàm khả vi liên tục trên [,]. Chuỗi Fourier của hàm f :[ ,  ]   Một vấn đề đặt ra ở đây là: Liệu có thể có được cho bởi: một cách định nghĩa Sf ( x) mà sao cho Định a  lý 1.1 vẫn đúng mà không cần tới giả thiết Sf ( x)  0    an cos nx  bn sin nx , x  , f ( )  f ( ) ? 2 n1 trong đó: 2.2. Kết quả chính  1 an    f ( x) cos nxdx, n  0,1, 2,..., Trước hết, báo cáo sẽ mở rộng chuỗi Fourier cho lớp hàm f liên tục, có biến phân  1  bị chặn trên [ ,  ] và f ( )   f ( ). bn    f ( x)sin nxdx, n  1, 2,..., Xét hai hàm số sau:  x (với điều kiện các tích phân hội tụ, điều này f c ( x)  f ( x) cos , x  [ ,  ] xảy ra khi f khả tích Lebesgue trên [ ,  ] ). 2 Chú ý rằng chuỗi Sf ( x) chưa chắc đã hội tụ x và: f s ( x)  f ( x)sin , x  [ ,  ] , 2 với x  . dễ thấy đây là các hàm liên tục, có biến phân Đã có nhiều tiêu chuẩn về sự hội tụ của bị chặn trên [ ,  ] : chuỗi Fourier, trong báo cáo này tôi sử dụng f c ( )  f c ( ), f s ( )  f s ( ) . kết quả trong ([3], Corollary 8.48). Định lý 1.1 ([3]): Cho f :[ ,  ]   sao Áp dụng Định lý 1.1, với x  [  ,  ] : cho f ( )  f ( ) . Nếu f là hàm liên tục và a0  f c ( x)  Sf c ( x)     an cos nx  bn sin nx , có biến phân bị chặn trên [ ,  ] thì chuỗi 2 n1 Fourier Sf ( x) hội tụ đều trên [ ,  ] tới a0   f ( x) , và Sf ( x)  f ( x) với mọi x  [ ,  ]. f s ( x)  Sf s ( x)  2 n1     an cos nx  bn sin nx ,   57 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2023. ISBN: 978-604-82-7522-8 các hệ số xác định bởi:  Fourier Sf ( x) hội tụ đều trên [ ,  ] tới   1 f ( x) , và Sf ( x)  f ( x) với mọi x  [ ,  ]. an   f c ( x) cos nxdx, n  0,1, 2,...,   Tóm tắt chứng minh của Định lý 2.1  Bằng cách thay fc(x), fs(x) bởi các chuỗi 1 x    f ( x) cos cos nxdx, n  0,1, 2,..., 2 Fourier của chúng trong công thức:  ...