MỘT SỐ CHÚ Ý KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Một hạn chế của phép đặt ẩn phụ (1) là sự tăng gấp đôi số bậc của phương trình. Mộtsố phương trình khi đặt ẩn phụ có thể dẫn đến phương trình đại số bậc cao, để giảiđược học sinh cần biết phương pháp nhẩm nghiệm hữu tỉ của phương trình đại số bậccao và kĩ thuật dùng lược đồ Hoocne để tính toán.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
MỘT SỐ CHÚ Ý KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1 MỘT SỐ CHÚ Ý KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Khuất Văn Thanh 11/11/2007Đại số hóa phương trình lượng giác Về nguyên tắc mọi phương trình lượng giác đều có thể đại số hóa nhờ phép đặtẩn phụ x t = tan (1) 2 xvới điều kiện cos = 0, tức là cần kiểm tra lại rằng x = π + k 2π có phải là nghiệm 2không, sau đó xét x = π + k 2πMột hạn chế của phép đặt ẩn phụ (1) là sự tăng gấp đôi số bậc của phương trình. Mộtsố phương trình khi đặt ẩn phụ có thể dẫn đến phương trình đại số bậc cao, để giảiđược học sinh cần biết phương pháp nhẩm nghiệm hữu tỉ của phương trình đại số bậccao và kĩ thuật dùng lược đồ Hoocne để tính toán.Với giới hạn kiến thức trong trường phổ thông ta tạm phân loại sau đây:Phương trình đa thức đối với một hàm số lượng giácVí dụ 1. Cho phương trình : cos 2x + sin2 x + b cos x + 1 = 0. 1. Giải phương trình khi b = 2 2. Tìm b để phương trình có nghiệm.Ví dụ 2. Giải phương trình x sin x + tan =2 2Ví dụ 3. Cho phương trình : sin4 x + cos4 x + m sin x cos x = 0, 5Chứng minh phương trình luôn có nghiệm. Các bạn nên giải các ví dụ trên và lưu ý rằng ta hay gặp những biểu thức như: sin3 x + cos3 x; sin4 x + cos4 x; sin6 x + cos6 x; ... (2) 1 Tải về từ: http://thanhmath.wordpress.com or http://thanhmath.googlepages.com 1Phương trình đối xứng đối với sin x và cos x ; phương trình đốixứng với tan x và cot x Tất cả các biểu thức đối xứng đối với sin x và cos x đều có thể biểu diễn theohai biểu thức đối xứng cơ bản là: sin x + cos x và sin x cos x (3)ví dụ như các biểu thức (2). Mặt khác do đẳng thức sin2 x + cos2 x = 1 nên nếu đặtẩn phụ t = sin x + cos x (4)thì các biểu thức đối xứng đối với sin x và cos x có thể biểu diễn theo t. Các bạn thửchứng minh đẳng thức: ( S1 − 1 ) 2 Sn = sin x + cos x = Sn−1 .S1 − Sn−2 . n n 2 Sn = tann x + cotn x = S1 .Sn−1 − Sn−2Một chú ý là khi đặt ẩn phụ trong (4) phải tìm ngay điều kiện của t hay nói cách kháclà tìm miền giá trị của t, điều này rất cần thiết với những bài toán giải và biện luậnPT theo tham số.Để nắm chắc vấn đề các bạn nên giải các ví dụ sau:Ví dụ 4. Cho phương trình: sin x cos x = 6(sin x + cos x + m)a) Giải PT với m = −1b) Tìm m để PT có nghiệm 3Ví dụ 5. Giải phương trình: 1 + sin3 x + cos3 x = sin 2x 2Ví dụ 6. Cho phương trình: 3 + 3 tan2 x + m(tan x + cot x) − 1 = 0 sin2 xa) Giải pt với m = 4b) Tìm m để PT có nghiệm.Ví dụ 7. Cho phương trình : tan2 x + cot2 x = m(tan x − cot x)Tìm m để pt có nghiệm. 2Phương trình đẳng cấp bậc cao đối với sin x và cos x Nếu f (u, v ) là đa thức của u, v gồm tổng những đơn thức cùng bậc k thì f (u, v )gọi là đa thức đẳng cấp bậc k của u và v Khi đó f (αu, αv ) = αk .f (u, v )Tuy nhiên khi u = sin x; v = cos x thì việc xét bậc sẽ không đơn giản như vậy vìsin2 x+cos2 x = 1. Chẳng hạn: u2 v 3 là đơn thức bậc 5 nhưng u2 v 3 = sin2 x cos3 x(sin2 x+cos2 x) = sin4 x cos3 x + sin2 x cos5 x thành thử u2 v 3 được viết thành tổng của hai đơnthức bậc 7. Như vậy các đơn thức của sin x và cos x chỉ cần có cùng bậc chẵn hoặccùng bậc lẻ lập tức được coi là đẳng cấp. Khi đó xét trường hợp cos x = 0 thử vào pt,còn trường hợp cos x = 0 thì chai cả hai vế cho cosk xVí dụ 8. Giải PT: 2 sin3 x = cos xVí dụ 9. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: m sin 2x + cos 2x + sin2 x + m = 0 Trong phần sau sẽ nói về phương pháp sử dụng bất đẳng thức và tính chất củahàm số để giải PT lượng giác. Tài liệu tham khảo [1] Phan Đức ...