Một số đẳng thức về hạng của ma trận

Bài viết đưa ra một số kiến thức cơ bản, một số ký hiệu đồng thời cũng đưa ra cách xây dựng nghịch đảo Moore-Penrose và nghịch đảo Drazin giúp cho người đọc có thể có cái nhìn rõ hơn về hai loại nghịch đảo này. Trình bày một số bổ đề về hạng của ma trận; Một số đẳng thức hạng liên quan đến nghịch đảo suy rộng. Lưu ý các ma trận mà chúng ta xét trong bài báo này là các ma trận có các phần tử trên trường C.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một số đẳng thức về hạng của ma trận MỘT SỐ ĐẲNG THỨC VỀ HẠNG CỦA MA TRẬN LÊ VĂN PHÚ CƯỜNG - BÙI THỊ LY Khoa Toán học Tóm tắt: Trong bài báo này chúng tôi sẽ thiết lập một số đẳng thức hạng của ma trận liên quan đến nghịch đảo Moorse-Penrose và nghịch đảo Drazin.1 GIỚI THIỆUTrong đại số tuyến tính, một ma trận vuông A là khả nghịch khi và chỉ chi rank(A) =n. Nhưng lớp các ma trận không khả nghịch là khá lớn, nhằm khắc phục điều nàyMoore-Penrose và Drazin đã đưa ra khái niệm nghịch đảo suy rộng của một matrận. Moore-Penrose đã đưa ra khái niệm nghịch đảo suy rộng của một ma trận Acấp m × n là một ma trận X thõa mãn 4 phương trình: AXA = A, XAX = X,(AX)∗ = AX, (XA)∗ = XA. Sau đó X được gọi là nghịch đảo Moore-Penrose vàký hiệu là A† . Drazin cũng đưa ra khái niệm nghịch đảo suy rộng của một ma trậnvuông A cấp n có chỉ số k là một ma trận X thõa mãn 3 phương trình: Ak XA = Ak ,XAX = X, AX = XA, X được gọi là nghịch đảo Drazin và ký hiệu là AD . Ta thấyrằng các nghịch đảo suy rộng là những ma trận có những tính chất gần giống vớima trận nghịch đảo thông thường của một ma trận cho trước. Ngay từ khi mới rađời nghịch đảo suy rộng đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học và có nhiềuứng dụng trong các lĩnh vực như lý thuyết đồ thị, phương trình vi phân và giải tíchhàm.Mục đích chính của bài báo này là nghiên cứu một số đẳng thức về hạng của matrận liên quan đến nghịch đảo suy rộng.Vấn đề liên quan đến hạng của ma trận và các nghịch đảo suy rộng thu hút sự quantâm của nhiều nhà toán học trên thế giới, một số bài báo và những cuôn sách viếtvề vấn đề này như: [6] G.Marsaglia and G.P.H Styan, Equalities and inequalities forranks of matrices, Linear and Multilinear Algebra 2(1974) 269-292, [4] C.D.Meyer,Jr., Generalized inverses inverses and ranks of block matrices, SIAM J.Appl. Math.25(1973), 597-602, [7] Rank Equalities Related to Generalized Inverses of Matricesand Their Applications, Yongge Tian...Kết quả đạt được của bài báo là chứng minh chi tiết các đẳng thức hạng liênKỷ yếu Hội nghị Khoa học Sinh viên năm học 2014-2015Trường Đại học Sư phạm Huế, tháng 12/2014: tr. 5-196 LÊ VĂN PHÚ CƯỜNG - BÙI THỊ LYquan đến nghịch đảo suy rộng, các đẳng thức được chứng minh nằm rãi rác trongquyển sách [7] Rank Equalities Related to Generalized Inverses of Matrices and TheirApplications-Yongge Tian, do tôi chọn lọc và trình bày.Bài báo được chia làm 4 mục. Sau mục giới thiệu là Mục 2 nói về một số kiến thứcđại số tuyến tính. Trong mục này chúng tôi đưa ra một số kiến thức cơ bản, một sốký hiệu đồng thời cũng đưa ra cách xây dựng nghịch đảo Moore-Penrose và nghịchđảo Drazin giúp cho người đọc có thể có cái nhìn rõ hơn về hai loại nghich đảo này.Trong Mục 3, chúng tôi sẽ trình bày một số bổ đề về hạng của ma trận. Cuối cùng,Mục 4 chúng tôi sẽ trình bày một số đẳng thức hạng liên quan đến nghịch đảo suyrộng. Lưu ý các ma trận mà chúng ta xét trong bài báo này là các ma trận có cácphần tử trên trường C.2 MỘT SỐ KIẾN THỨC ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH2.1 Một số khái niệm và ký hiệu+ Cho A là ma trận cấp m × n trên C. Lúc đó ta gọi A∗ là ma trận chuyển vị liênhợp của A tức là A∗ = (bij )n×m ở đó bij = a ¯ji .+ Cho hai không gian U, V trên C có số chiều lần lượt là n và m. Ký hiệu L(U, V)là tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ U vào V. Ta biết rằng L(U, V) là C− khônggian vectơ đẳng cấu với không gian Cm×n . Do đó với ma trận A ∈ Cm×n , ta có thểđồng nhất với một ánh xạ tuyến tính A : Cn → Cm ,vớiIm(A) = {y ∈ Cm : y = Ax, ∀x ∈ Cn } được ký hiệu là R(A).Ker(A) = {x ∈ Cn : Ax = 0} ký hiệu là N (A).+ Ký hiệu r(A) là hạng của ma trận A.+ Cho A, B là hai không gian con Cn . Lúc đó ta định nghĩa tổng của hai không giancon A và B là:A + B = {x + y|x ∈ A, y ∈ B}. Và nếu A ∩ B = {0} thì lúc đó tổng hai không giancon gọi là tổng trực tiếp và kí hiệu A ⊕ B.+ Cho ma trận C vuông cấp n trên trường C ma trận C được gọi là lũy đẳng nếuC 2 = C.+ Cho A là ma trận vuông cấp n trên trường C. Số nguyên không âm nhỏ nhất ksao cho rank(Ak ) = rank(Ak+1 ) được gọi là chỉ số của ma trận A, ký hiệu là ind(A).Từ định nghĩa trên ta dễ dàng thấy ma trận 0 có chỉ số là 1.MỘT SỐ ĐẲNG THỨC VỀ HẠNG CỦA MA TRẬN 72.2 Nghịch đảo Moore-Penrose và nghịch đảo Drazin2.2.1 Nghịch đảo Moore-PenroseCho A là ma trận cấp m × n trên trường C. Vào năm 1955 Penrose đã chứng minhrằng tồn tại duy nhất một ma trận X thõa mãn bốn phương trình sau: AXA = A. XAX = X. (AX)∗ = AX. ...