Một số dạng toán về số phức

Số phức là một vấn đề còn mới ở giải tích 12. Do vậy mà các em học sinh không thể tránh khỏi lúng túng khi gặp các bài toán về số phức.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một số dạng toán về số phức Mét sè d¹ng to¸n vÒ sè phøc Lª xu©n ®¹i (GV THPT Chuyªn VÜnh Phóc) Sè phøc lµ mét vÊn ®Ò cßn míi ë ch-¬ng tr×nh to¸n gi¶i tÝch líp 12. Do vËy mµ c¸c em häc sinh kh«ngthÓ tr¸nh khái lóng tóng khi gÆp c¸c bµi to¸n vÒ sè phøc. Bµi viÕt nµy giíi thiÖu mét sè d¹ng to¸n vÒ sè phøcnh»m gióp c¸c b¹n «n thi §H-C§ tèt h¬n. Do khu«n khæ cña bµi viÕt nªn t¸c gi¶ chØ nªu ra mét sè d¹ng to¸nliªn quan ®Õn d¹ng ®¹i sè cña sè phøc.D¹ng 1: Bµi to¸n liªn quan ®Õn c¸c phÐp biÕn ®æi sè phøc 2 2 4 4ThÝ dô 1: Gäi z1 , z2 lµ hai nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh z 2  2 z  10  0 . TÝnh z1  z2 ; z1  z2 .Lêi gi¶i. Gi¶i ph-¬ng tr×nh t×m ra hai nghiÖm lµ z1  1  3i; z2  1  3i , suy ra z1  z2  10 . 2 2 4 4Do ®ã z1  z2  20 vµ z1  z2  200 .ThÝ dô 2: Cho hai sè phøc z1, z2 tho¶ m·n z1  z2  1; z1  z2  3 . TÝnh z1  z2 . a 2  b2  a 2  b2  1Lêi gi¶i. §Æt z1  a1  b1i; z2  a2  b2i . Tõ gi¶ thiÕt ta cã  1 1 2 2  ( a1  a2 )  (b1  b2 )2  3 2  Suy ra 2(a1b1  a2b2 )  1  (a1  a2 )2  (b1  b2 )2  1  z1  z2  1 zBµi to¸n t-¬ng tù: Cho hai sè phøc z1, z2 tho¶ m·n z1  3; z2  4; z1  z2  37 . T×m sè phøc z  1 . z2D¹ng 2: Bµi to¸n liªn quan ®Õn ph-¬ng tr×nh nghiÖm phøcThÝ dô 3: Gi¶i ph-¬ng tr×nh nghiÖm phøc: z 2  8(1  i ) z  63  16i  0Lêi gi¶i. Ta cã   16(1  i )2  (63  16i )  63  16i  (1  8i )2 Tõ ®ã ta t×m ra hai nghiÖm z1  5  12i ; z2  3  4i .ThÝ dô 4: T×m hai sè thùc x,y tho¶ m·n: x(3  5i )  y(1  2i )3  9  14iLêi gi¶i. Ta cã x(3  5i )  y(1  2i )3  x(3  5i )  y(11  2i )  (3 x  11y )  (5 x  2 y )i 3 x  11 y  9 172 3 . Gi¶i hÖ ta ®-îc x  vµ y   . 5 x  2 y  14 61 61Do ®ã x,y tho¶ m·n hÖ ThÝ dô 5: Gi¶i ph-¬ng tr×nh z 3  2(1  i ) z 2  4(1  i ) z  8i  0 biÕt r»ng ph-¬ng tr×nh cã mét nghiÖm thuÇn ¶o.Lêi gi¶i. Gäi nghiÖm thuÇn ¶o lµ z  bi (b   ) . Ta cã:  2b 2  4b  0 3 2 (bi )  2(1  i )(bi )  4(1  i )(bi )  8i  0   3 b2  2  b  2b  4b  8  0   z  2iKhi ®ã ph©n tÝch PT ®· cho t-¬ng ®-¬ng: ( z  2i )  z 2  2 z  4   0   2  z  2z  4  0  Tõ ®ã t×m ra 3 nghiÖm cña PT lµ: z  2i; z  1  i 3 .ThÝ dô 6: Gi¶i ph-¬ng tr×nh nghiÖm phøc: z 2  z a 2  b2  aLêi gi¶i. §Æt z  a  bi ( a, b   ) , ta cã: z 2  z  ( a  bi )2  a  bi     2ab  b  1 3 1 3Gi¶i hÖ trªn ta t×m ®-îc ( a; b)  (0; 0); (1; 0);   ;   . VËy z  0; z  1; z    i. 2 2 22  ThÝ dô 7: T×m c¸c sè nguyªn x,y sao cho sè phøc z  x  yi tho¶ m·n z 3  18  26i .  x3  3 xy 2  18 3 ...