Một số đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12

Kì thi học sinh giỏi là kì thi quan trọng đối với mỗi học sinh. Dưới đây là một số đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 giúp các em kiểm tra lại đánh giá kiến thức của mình và có thêm thời gian chuẩn bị ôn tập cho kì thi sắp tới được tốt hơn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một số đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 www.VNMATH.com Nguy n Văn Xá M TS ð TOÁN THI H C SINH GI I1. ð THI CH N HSG 12 T NH B C NINH 2009Bài 1 (6 ñi m)1/ So sánh hai s 20092010 và 20102009.  1 1 2/ Tìm gi i h n lim  − . x →0 3 x ( 1 + 4 x + 1)   2 x( 3 (1 + 6 x) 2 + 3 1 + 6 x + 1)  Bài 2 (4 ñi m)1/ Cho ba s th c không âm x, y, z tho mãn x2009 + y2009 + z2009 = 3. Tìm giá tr l n nh t c a F = x2 + y2 + z2. 1 1 1 12/ Cho s nguyên dương n. Ch ng minh r ng 1 + 2 + ... + n+1 < . C 2009 C 2010 C 2009+n 2007Bài 3 (4 ñi m)Hình chóp S.ABC có t ng các m t (góc ñ nh) c a tam di n ñ nh S b ng 180o và các c nh bênSA = SB = SC = 1. Ch ng minh r ng di n tích toàn ph n c a hình chóp này không l n hơn 3 .Bài 4 (4 ñi m)1/ G i m, n, p là 3 nghi m th c c a phương trình ax3 + bx2 + cx – a = 0 (a≠0). Ch ng minh r ng 1 2 2+ 3 + - ≤ m2 + n 2 + p2 . m n p  x3 + y 3 + x 2 ( y + z ) = xyz + 14  3 32/ Gi i h phương trình  y + z + y ( z + x) = xyz − 21 . 2  z 3 + x3 + z 2 ( x + y ) = xyz + 7 Bài 5 (2 ñi m)1/ Ch ng minh r ng b n ñư ng tròn có các ñư ng kính là b n c nh c a m t t giác l i thì ph kín mi n tgiác ñó.2/ Cho y = a0x + a1x3 + a2x5 + … + anx2n+1 + … tho mãn (1 – x2)y’ – xy = 1, ∀x ∈(-1;1).Tìm các h s a0, a1, a2, …, an.2. ð THI H C SINH GI I NĂM H C 2006 -2007BÀI 1: (3 ñi m)Tìm t t c các giá tr a sao cho b t phương trình sau có m t s h u h n nghi m và tính các nghi m này: ( ) ( ) tan 2 cos 4π 2 − x 2 − 4a.tan cos 4π 2 − x 2 + 2 + 2 a ≤ 0 .BÀI 2: (3 ñi m) x 3 2xV i nh ng giá tr nào c a a thì hàm s f ( x ) = x (1 − a ) + 3 (1 − 2a ) sin + sin + π a có không quá 3 2 3hai ñi m c c tr trên kho ng ( π ; 5π ) ?BÀI 3: (4ñi m)ð thi HSG môn Toán Trang 1 www.VNMATH.com Nguy n Văn XáV i nh ng giá tr nào c a a t p h p nghi m c a b t phương trình sau ch a không quá b n giá tr xnguyên. x(x − 4) + a 2 (a + 4) ≤ ax(a + 1) . ðÁP ÁN BÀI 1 (3 ñi m) ( ) ð t t = tan cos 4π 2 − x2 , v i t ≤ ta n 1 . D th y r ng v i t0 ∈ [ −tan1, tan1] phương trình ( )tan cos 4π 2 − x2 = t0 có s nghi m h u h n. Do ñó ta tìm t t c a sao cho h t 2 − 4at + 2 + 2a ≤ 0   −tan1 ≤ t ≤ tan1 có snghi m h u h n. ði u này ch có th khi h có ñúng m t nghi m. N u bi u th c ∆ c a tam th c b c hai tương ng âm thì rõ ràng h vô nghi m. 1 N u ∆ = 0, t c là a = 1 hay a = − , thì nghi m c a b t phương trình th nh t c a h s ch là 2 1 1m t ñi m t = 2a. T hai giá tr tìm ñư c c a a ch có a = − là thích h p, v i a = − ta ñư c ...