Một số mô hình của cơ học_chương 5

Trong lý thuyết đàn hồi tuyến tính dịch chuyển ui và gradient dịch chuyển được giảsựí đủ nhỏ để cho không có sựü khác biệt nhau về tenxơ biến dạng giữa mô tả theoLagrange và mô tả theo Euler. Ten xơ biến dạng tuyến tính được cho bởi:
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một số mô hình của cơ học_chương 5Cơ học môi trường liên tục 64 GVC Trần Minh ThuậnChương 5. MỘT SỐ MÔ HÌNH CỦA CƠ HỌC CÁC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤCA. VẬT RẮN ĐÁN HỒI - LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH:I. Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng - Định luật Hooke:Trong lý thuyết đàn hồi tuyến tính dịch chuyển ui và gradient dịch chuyển được giảsựí đủ nhỏ để cho không có sựü khác biệt nhau về tenxơ biến dạng giữa mô tả theoLagrange và mô tả theo Euler. Ten xơ biến dạng tuyến tính được cho bởi: 1  ∂u ∂u j  1  ∂u i ∂u j  1  = (u i , j + u j ,i ) l ij = ε ij =  i + =  + 2  ∂X j ∂X i  2  ∂ x j ∂x i  2    Nếu quá trình biến dạng xảy ra trong điều kiện đoạn nhiệt và đẳng nhiệt, thì phươngtrình cơ bản cho vật thể đàn hồi tuyến tính liên hệ giữa ten xơ biến dạng và tenxơứng suất có dạng. σ ij = Cijkm ε km :biểu thị định luật Hooke tổng quát. [5.21]Trong đó tenxơ hằng số đàn hồi Cijkm có 81 thành phần. Vì ten xơ ứng suất và tenxơ biến dạng đều đối xứng do đó hằng số đàn hồi Cijkm chỉ còn lại 36 thành phầnphân biệt. Vậy nhằm mục đích biểu diển định luật Hooke cho 36 thành phần khácnhau nầy ta thay hệ thống hai chỉ số (với khoảng cuả mổi chỉ số là 3) của tenxơ ứngsuất và tenxơ biến dạng thành hệ thống 1 chỉ số, với khoảng của chỉ số là 6. Theocác ký hiệu sau : σ11 = σ1 ε11 = ε1 σ22 = σ2 ε22 = ε2 σ33 = σ3 ε33 = ε3 σ23 = σ32 = σ4 2ε23 = 2ε32 = ε4 σ31 = σ13 = σ5 2ε13 = 2ε31 = ε5 σ21 = σ12 = σ6 2ε21 = 2ε12 = ε6Định luật Hooke có thể được viết: σ K = CKM ε M (K, M: 1, 2, 3, 4, 5, 6). [5.22]Trong đó CKM biểu diển cho 36 hằng số đàn hồi. C11 C12 C13 C14 C15 C16  C C26   21 C22 C23 C24 C25  C C C C C C36  [CKM ] =  31 32 33 34 35  [5.23] C41 C42 C43 C44 C45 C46  C51 C52 C53 C54 C55 C56    C61 C62 C63 C64 C65  C66  II. Các phương trình cơ bản của lý thuyết đàn hồi:1. Phương trình năng lượng biến dạng:Theo định lý năng lượng ở chương 4 ta có: d vv • ∧ dt ∫V ρ i i dV + ∫ ρ u dV = ∫ v i t i( n )dS + ∫ ρv i bi dV + ∫ ρZdV − ∫ C i n i dS 2 V S V V SRút gọn ta được:Cơ học môi trường liên tục 65 GVC Trần Minh Thuận v2  ∫V  2 + u dV = ∫V (v i σ ji ), j dV + ∫V ρv i bi dV + ∫V ρZdV − ∫V Ci ,i dV d ρ  dt   d v2  1  2 + u  = ρ (v i σ ji ), j + v i bi + Z − ρ C i ,i 1Suy ra:   dt   + v i v i = (v i σ ji ), j + v i bi + Z − C i ,i du • 1 1 dt ρ ρ • 1Cộng cho: − v i v i = − v i σ ji , j − v i bi (phương trình chuyển động) ρ --------------------------------------------------------- du 1 1⇒ = σ ji v i , j + Z − C i ,i dt ρ ρ du 1 1Hay = σ ji Dij + Z − Ci ,i [5.24] dt ρ ρNếu ảnh hưởng của nhiệt không đáng kể, ta có phương trình cân bằng năng lượng: du 1 1 • = σ ji Dij = σ ij ε ij [5.25] dt ρ ρđược gọi là phương trình năng lượng biến dạng ( cơ năng) 1ta có: du = σ ij dε ij [5.26] ρNếu đặt u là hàm số của tenxơ biến dạng εij : u = u(εij ), ta có: ∂u du = dε ij ∂ε ij ∂u 1Suy ra: = σ ij ∂ε ij ρ ∂u *Đặt u* = ρu , ta có: σ ij = [5.27] ∂ε ij(u* là năng lượng biến dạng trên đơn vị thể tích)Dạng đơn giản nhất của hàm năng lượng biến dạng để dẫn tới quan hệ biến dạng vàứng suất là tuyến tính là: 1 u * = Cijkm ε ij ε km [5.28] 2 1hay: u * = σ ij ε ij [5.29] 2Theo hệ thống chỉ số đơn, phương trình trên trở thành: 1 u * = CKM ε K ε M ...